Номер 766, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 766, страница 324.
№766 (с. 324)
Условие. №766 (с. 324)
скриншот условия

766. Разложить на множители:
1) $1 + \cos\alpha + \sin\alpha;$
2) $1 - \cos\alpha - \sin\alpha;$
3) $3 - 4\sin^2\alpha;$
4) $1 - 4\cos^2\alpha.$
Решение 1. №766 (с. 324)




Решение 2. №766 (с. 324)

Решение 3. №766 (с. 324)
1) $1 + \cos\alpha + \sin\alpha$
Для разложения этого выражения на множители воспользуемся формулами половинного угла. Нам понадобятся следующие тождества:
Формула косинуса двойного угла в виде для $1 + \cos\alpha$:
$1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$
Формула синуса двойного угла:
$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$
Подставим эти выражения в исходное:
$1 + \cos\alpha + \sin\alpha = (1 + \cos\alpha) + \sin\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$
Теперь мы можем вынести за скобки общий множитель $2\cos\frac{\alpha}{2}$:
$2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$
Это и есть разложение на множители.
Ответ: $2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$
2) $1 - \cos\alpha - \sin\alpha$
Решение аналогично предыдущему пункту, но используется другая формула для косинуса.
Формула косинуса двойного угла в виде для $1 - \cos\alpha$:
$1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$
Формула синуса двойного угла остается той же:
$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$
Подставляем в исходное выражение:
$1 - \cos\alpha - \sin\alpha = (1 - \cos\alpha) - \sin\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$
Вынесем за скобки общий множитель $2\sin\frac{\alpha}{2}$:
$2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2})$
Ответ: $2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2})$
3) $3 - 4\sin^2\alpha$
Для разложения этого выражения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Заменим число 3 на выражение $3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$:
$3 - 4\sin^2\alpha = 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 4\sin^2\alpha$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 3\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$
Полученное выражение представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{3}\cos\alpha$ и $b = \sin\alpha$.
$(\sqrt{3}\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha)^2 = (\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha)(\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha)$
Ответ: $(\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha)(\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha)$
4) $1 - 4\cos^2\alpha$
Это выражение можно сразу разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим выражение в виде разности квадратов:
$1 - 4\cos^2\alpha = 1^2 - (2\cos\alpha)^2$
Теперь применим формулу, где $a=1$ и $b=2\cos\alpha$:
$(1 - 2\cos\alpha)(1 + 2\cos\alpha)$
Это и является искомым разложением.
Ответ: $(1 - 2\cos\alpha)(1 + 2\cos\alpha)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 766 расположенного на странице 324 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №766 (с. 324), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.