Номер 766, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 766, страница 324.

Условие.

766. Разложить на множители:

1) $1 + \cos\alpha + \sin\alpha;$

2) $1 - \cos\alpha - \sin\alpha;$

3) $3 - 4\sin^2\alpha;$

4) $1 - 4\cos^2\alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $1 + \cos\alpha + \sin\alpha$

Для разложения этого выражения на множители воспользуемся формулами половинного угла. Нам понадобятся следующие тождества:

Формула косинуса двойного угла в виде для $1 + \cos\alpha$:

$1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$

Формула синуса двойного угла:

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в исходное:

$1 + \cos\alpha + \sin\alpha = (1 + \cos\alpha) + \sin\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2} + 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Теперь мы можем вынести за скобки общий множитель $2\cos\frac{\alpha}{2}$:

$2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

Это и есть разложение на множители.

Ответ: $2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2})$

2) $1 - \cos\alpha - \sin\alpha$

Решение аналогично предыдущему пункту, но используется другая формула для косинуса.

Формула косинуса двойного угла в виде для $1 - \cos\alpha$:

$1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$

Формула синуса двойного угла остается той же:

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Подставляем в исходное выражение:

$1 - \cos\alpha - \sin\alpha = (1 - \cos\alpha) - \sin\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Вынесем за скобки общий множитель $2\sin\frac{\alpha}{2}$:

$2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $2\sin\frac{\alpha}{2}(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2})$

3) $3 - 4\sin^2\alpha$

Для разложения этого выражения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Заменим число 3 на выражение $3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$:

$3 - 4\sin^2\alpha = 3(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 4\sin^2\alpha$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3\sin^2\alpha + 3\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha = 3\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Полученное выражение представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = \sqrt{3}\cos\alpha$ и $b = \sin\alpha$.

$(\sqrt{3}\cos\alpha)^2 - (\sin\alpha)^2 = (\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha)(\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha)$

Ответ: $(\sqrt{3}\cos\alpha - \sin\alpha)(\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha)$

4) $1 - 4\cos^2\alpha$

Это выражение можно сразу разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов:

$1 - 4\cos^2\alpha = 1^2 - (2\cos\alpha)^2$

Теперь применим формулу, где $a=1$ и $b=2\cos\alpha$:

$(1 - 2\cos\alpha)(1 + 2\cos\alpha)$

Это и является искомым разложением.

Ответ: $(1 - 2\cos\alpha)(1 + 2\cos\alpha)$