Номер 760, страница 323 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 760, страница 323.

Условие.

760. Выразить $log_{\sqrt{3}}8$ через $a$, если $log_{12}3 = a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо выразить $\log_{\sqrt{3}} 8$ через $a$, зная, что $\log_{12} 3 = a$.

Сначала преобразуем выражение, которое нужно найти. Используем свойства логарифмов, в частности, формулу для логарифма степени $\log_{b^k} x^m = \frac{m}{k} \log_b x$.

Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней:

$\sqrt{3} = 3^{1/2}$

$8 = 2^3$

Тогда:

$\log_{\sqrt{3}} 8 = \log_{3^{1/2}} 2^3 = \frac{3}{1/2} \log_3 2 = 6 \log_3 2$.

Теперь наша задача — выразить $\log_3 2$ через $a$, используя данное условие $\log_{12} 3 = a$.

Применим формулу перехода к новому основанию. Удобно перейти к основанию 3. Используем свойство $\log_b c = \frac{1}{\log_c b}$:

$\log_3 12 = \frac{1}{\log_{12} 3} = \frac{1}{a}$.

Теперь преобразуем левую часть равенства, используя свойство логарифма произведения $\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$:

$\log_3 12 = \log_3 (4 \cdot 3) = \log_3 4 + \log_3 3$.

Так как $\log_3 3 = 1$ и $\log_3 4 = \log_3 (2^2) = 2 \log_3 2$, получаем:

$2 \log_3 2 + 1 = \frac{1}{a}$.

Теперь выразим $\log_3 2$ из этого уравнения:

$2 \log_3 2 = \frac{1}{a} - 1$

$2 \log_3 2 = \frac{1-a}{a}$

$\log_3 2 = \frac{1-a}{2a}$.

Мы получили выражение для $\log_3 2$ через $a$. Подставим его в наше исходное преобразованное выражение $\log_{\sqrt{3}} 8 = 6 \log_3 2$:

$\log_{\sqrt{3}} 8 = 6 \cdot \left(\frac{1-a}{2a}\right) = \frac{6(1-a)}{2a} = \frac{3(1-a)}{a}$.

Ответ: $\frac{3(1-a)}{a}$.