Номер 768, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 768, страница 324.

Условие.

768. Известно, что $tg\\alpha = 2$. Найти значение выражения:

1) $\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3\cos \alpha \sin \alpha}$;

2) $\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано выражение $ \frac{\sin^2 \alpha + \sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2 \alpha + 3\cos\alpha\sin\alpha} $. Поскольку нам известно значение тангенса $ tg \alpha = 2 $, мы можем преобразовать это выражение так, чтобы оно зависело только от $ tg \alpha $. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos^2 \alpha $. Это действие возможно, так как если $ tg \alpha $ существует и равен 2, то $ \cos \alpha \neq 0 $.

Разделим числитель на $ \cos^2 \alpha $:

$ \sin^2 \alpha + \sin\alpha\cos\alpha \rightarrow \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = tg^2 \alpha + tg \alpha $

Разделим знаменатель на $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha + 3\cos\alpha\sin\alpha \rightarrow \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{3\cos\alpha\sin\alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 + 3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 + 3tg \alpha $

Таким образом, исходное выражение равно:

$ \frac{tg^2 \alpha + tg \alpha}{1 + 3tg \alpha} $

Теперь подставим известное значение $ tg \alpha = 2 $:

$ \frac{2^2 + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{1 + 6} = \frac{6}{7} $

Ответ: $ \frac{6}{7} $

2)

Дано выражение $ \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} $. Чтобы найти его значение, выразим $ \sin^2 \alpha $ и $ \cos^2 \alpha $ через $ tg^2 \alpha $, используя основные тригонометрические тождества.

Из тождества $ 1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $ найдем $ \cos^2 \alpha $:

$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} $

Подставим $ tg \alpha = 2 $ (значит, $ tg^2 \alpha = 4 $):

$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5} $

Теперь найдем $ \sin^2 \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $

Подставим найденные значения $ \sin^2 \alpha = \frac{4}{5} $ и $ \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} $ в исходное выражение:

$ \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} = \frac{2 - \frac{4}{5}}{3 + \frac{1}{5}} $

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $ 2 - \frac{4}{5} = \frac{10}{5} - \frac{4}{5} = \frac{6}{5} $

Знаменатель: $ 3 + \frac{1}{5} = \frac{15}{5} + \frac{1}{5} = \frac{16}{5} $

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$ \frac{\frac{6}{5}}{\frac{16}{5}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} $

Ответ: $ \frac{3}{8} $