Номер 768, страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 768, страница 324.
№768 (с. 324)
Условие. №768 (с. 324)
скриншот условия

768. Известно, что $tg\\alpha = 2$. Найти значение выражения:
1) $\frac{\sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha + 3\cos \alpha \sin \alpha}$;
2) $\frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha}$.
Решение 1. №768 (с. 324)


Решение 2. №768 (с. 324)

Решение 3. №768 (с. 324)
1)
Дано выражение $ \frac{\sin^2 \alpha + \sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2 \alpha + 3\cos\alpha\sin\alpha} $. Поскольку нам известно значение тангенса $ tg \alpha = 2 $, мы можем преобразовать это выражение так, чтобы оно зависело только от $ tg \alpha $. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $ \cos^2 \alpha $. Это действие возможно, так как если $ tg \alpha $ существует и равен 2, то $ \cos \alpha \neq 0 $.
Разделим числитель на $ \cos^2 \alpha $:
$ \sin^2 \alpha + \sin\alpha\cos\alpha \rightarrow \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = tg^2 \alpha + tg \alpha $
Разделим знаменатель на $ \cos^2 \alpha $:
$ \cos^2 \alpha + 3\cos\alpha\sin\alpha \rightarrow \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{3\cos\alpha\sin\alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 + 3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 + 3tg \alpha $
Таким образом, исходное выражение равно:
$ \frac{tg^2 \alpha + tg \alpha}{1 + 3tg \alpha} $
Теперь подставим известное значение $ tg \alpha = 2 $:
$ \frac{2^2 + 2}{1 + 3 \cdot 2} = \frac{4 + 2}{1 + 6} = \frac{6}{7} $
Ответ: $ \frac{6}{7} $
2)
Дано выражение $ \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} $. Чтобы найти его значение, выразим $ \sin^2 \alpha $ и $ \cos^2 \alpha $ через $ tg^2 \alpha $, используя основные тригонометрические тождества.
Из тождества $ 1 + tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $ найдем $ \cos^2 \alpha $:
$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tg^2 \alpha} $
Подставим $ tg \alpha = 2 $ (значит, $ tg^2 \alpha = 4 $):
$ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5} $
Теперь найдем $ \sin^2 \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} $
Подставим найденные значения $ \sin^2 \alpha = \frac{4}{5} $ и $ \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} $ в исходное выражение:
$ \frac{2 - \sin^2 \alpha}{3 + \cos^2 \alpha} = \frac{2 - \frac{4}{5}}{3 + \frac{1}{5}} $
Вычислим числитель и знаменатель:
Числитель: $ 2 - \frac{4}{5} = \frac{10}{5} - \frac{4}{5} = \frac{6}{5} $
Знаменатель: $ 3 + \frac{1}{5} = \frac{15}{5} + \frac{1}{5} = \frac{16}{5} $
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{\frac{6}{5}}{\frac{16}{5}} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} $
Ответ: $ \frac{3}{8} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 768 расположенного на странице 324 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №768 (с. 324), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.