Номер 741, страница 321 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 741, страница 321.
№741 (с. 321)
Условие. №741 (с. 321)
скриншот условия

741. Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них, если
$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
1) $\cos \alpha = 0,8;$
2) $\sin \alpha = \frac{5}{13};$
3) $\operatorname{tg} \alpha = 2,4;$
4) $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24}$.
Решение 1. №741 (с. 321)




Решение 2. №741 (с. 321)


Решение 3. №741 (с. 321)
Поскольку по условию угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), все тригонометрические функции этого угла ($\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\operatorname{tg} \alpha$, $\operatorname{ctg} \alpha$) имеют положительные значения.
1) $\cos \alpha = 0,8$
Для нахождения $\sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Учитывая, что $\alpha$ находится в первой четверти, значение синуса будет положительным.
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.
Тангенс и котангенс находим по их определениям:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\sin \alpha = 0,6$; $\operatorname{tg} \alpha = 0,75$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{4}{3}$.
2) $\sin \alpha = \frac{5}{13}$
Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $\cos \alpha > 0$.
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Теперь найдем $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5}$.
Ответ: $\cos \alpha = \frac{12}{13}$; $\operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{12}$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{12}{5}$.
3) $\operatorname{tg} \alpha = 2,4$
Представим $2,4$ в виде дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
Сразу находим $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.
Найдем $\cos \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $\cos \alpha > 0$.
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{25}{169}$.
$\cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.
Найдем $\sin \alpha$ из соотношения $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$; $\cos \alpha = \frac{5}{13}$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{5}{12}$.
4) $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24}$
Найдем $\operatorname{tg} \alpha$ как обратную величину к $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.
Найдем $\sin \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $\sin \alpha > 0$.
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{7}{24})^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576+49}{576}} = \frac{576}{625}$.
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.
Найдем $\cos \alpha$ из соотношения $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:
$\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.
Ответ: $\sin \alpha = \frac{24}{25}$; $\cos \alpha = \frac{7}{25}$; $\operatorname{tg} \alpha = \frac{24}{7}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 741 расположенного на странице 321 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №741 (с. 321), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.