Номер 741, страница 321 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 741, страница 321.

Условие.

741. Найти числовые значения всех остальных тригонометрических функций по данному значению одной из них, если

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

1) $\cos \alpha = 0,8;$

2) $\sin \alpha = \frac{5}{13};$

3) $\operatorname{tg} \alpha = 2,4;$

4) $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку по условию угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), все тригонометрические функции этого угла ($\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\operatorname{tg} \alpha$, $\operatorname{ctg} \alpha$) имеют положительные значения.

1) $\cos \alpha = 0,8$

Для нахождения $\sin \alpha$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Учитывая, что $\alpha$ находится в первой четверти, значение синуса будет положительным.
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Тангенс и котангенс находим по их определениям:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\sin \alpha = 0,6$; $\operatorname{tg} \alpha = 0,75$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{4}{3}$.

2) $\sin \alpha = \frac{5}{13}$

Найдем $\cos \alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $\cos \alpha > 0$.
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.

Теперь найдем $\operatorname{tg} \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$.
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5}$.

Ответ: $\cos \alpha = \frac{12}{13}$; $\operatorname{tg} \alpha = \frac{5}{12}$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{12}{5}$.

3) $\operatorname{tg} \alpha = 2,4$

Представим $2,4$ в виде дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.
Сразу находим $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{12/5} = \frac{5}{12}$.

Найдем $\cos \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $\cos \alpha > 0$.
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{12}{5})^2} = \frac{1}{1 + \frac{144}{25}} = \frac{1}{\frac{25+144}{25}} = \frac{25}{169}$.
$\cos \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.

Найдем $\sin \alpha$ из соотношения $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\sin \alpha = \frac{12}{13}$; $\cos \alpha = \frac{5}{13}$; $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{5}{12}$.

4) $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24}$

Найдем $\operatorname{tg} \alpha$ как обратную величину к $\operatorname{ctg} \alpha$:
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7}$.

Найдем $\sin \alpha$ из тождества $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$. Так как $\alpha$ в первой четверти, $\sin \alpha > 0$.
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (\frac{7}{24})^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576+49}{576}} = \frac{576}{625}$.
$\sin \alpha = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

Найдем $\cos \alpha$ из соотношения $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:
$\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.

Ответ: $\sin \alpha = \frac{24}{25}$; $\cos \alpha = \frac{7}{25}$; $\operatorname{tg} \alpha = \frac{24}{7}$.