Номер 738, страница 321 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 738, страница 321.

Условие.

738. 1) Вычислить диаметр $x$ круга, вписанного в равносторонний треугольник (рис. 139), если $a = 6$ см.

2) Вычислить угол $\alpha$ заготовки, изображённой на рисунке 140, если $a = 4$ см.

Рис. 139

Рис. 140

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для вычисления диаметра $x$ круга, вписанного в равносторонний треугольник, воспользуемся свойствами этого треугольника. Сторона треугольника по условию равна $a = 6$ см.

Радиус $r$ круга, вписанного в равносторонний треугольник со стороной $a$, связан с высотой треугольника $h$. Сначала найдем высоту $h$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$. Высота вычисляется по формуле:

$h = a \cdot \sin(60^{\circ}) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$

Центр вписанной окружности в равностороннем треугольнике является точкой пересечения его медиан, биссектрис и высот. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности равен одной трети высоты:

$r = \frac{1}{3} h = \frac{1}{3} \cdot \left(a \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Диаметр круга $x$ в два раза больше радиуса:

$x = 2r = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Подставим в формулу заданное значение стороны $a = 6$ см:

$x = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Для получения численного значения используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$x \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464$ см.

Ответ: $x = 2\sqrt{3}$ см $\approx 3.464$ см.

2)

Для вычисления угла $\alpha$ заготовки рассмотрим ее осевое сечение, изображенное на рисунке 140. Заостренная часть в сечении представляет собой равнобедренный треугольник с углом при вершине $\alpha$.

Основание этого треугольника равно диаметру цилиндрической части заготовки, то есть $d = 4,5$ см.

Высота этого треугольника, проведенная к основанию, равна длине заостренной части $a = 4$ см. Эта высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Угол при вершине в нем равен $\frac{\alpha}{2}$. Катеты этого треугольника:

• Прилежащий к углу $\frac{\alpha}{2}$ катет — это высота $h = a = 4$ см.
• Противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$ катет — это половина основания, то есть $\frac{d}{2} = \frac{4,5}{2} = 2,25$ см.

Воспользуемся тригонометрической функцией тангенса, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{2,25}{4} = 0.5625$

Теперь найдем значение угла $\frac{\alpha}{2}$ с помощью функции арктангенса:

$\frac{\alpha}{2} = \arctan(0.5625) \approx 29.358^{\circ}$

Полный угол $\alpha$ равен удвоенному значению этого угла:

$\alpha = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} \approx 2 \cdot 29.358^{\circ} \approx 58.716^{\circ}$

Округлим результат до двух знаков после запятой или выразим в градусах и минутах ($0.716^{\circ} \cdot 60' \approx 43'$):

$\alpha \approx 58.72^{\circ}$ или $\alpha \approx 58^{\circ}43'$.

Ответ: $\alpha \approx 58.72^{\circ}$ (или $58^{\circ}43'$).