Страница 322 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

743. Разложить на множители многочлен:

1) $4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6;$

2) $x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5.$

1) Для разложения многочлена $P(x) = 4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6$ на множители воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена 6, а $q$ — делитель старшего коэффициента 4.
Делители числа 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Делители числа 4: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Проверим один из возможных корней, например, $x=2$.
$P(2) = 4(2)^4 + 4(2)^3 - 25(2)^2 - 2 + 6 = 4 \cdot 16 + 4 \cdot 8 - 25 \cdot 4 - 2 + 6 = 64 + 32 - 100 - 2 + 6 = 0$.
Так как $P(2)=0$, то $x=2$ является корнем многочлена, а $(x-2)$ — его множителем. Разделим многочлен $P(x)$ на $(x-2)$ столбиком или по схеме Горнера.
$(4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6) : (x - 2) = 4x^3 + 12x^2 - x - 3$.
Теперь разложим на множители кубический многочлен $4x^3 + 12x^2 - x - 3$. Сгруппируем слагаемые:
$4x^3 + 12x^2 - x - 3 = (4x^3 + 12x^2) - (x + 3) = 4x^2(x + 3) - 1(x + 3) = (4x^2 - 1)(x + 3)$.
Выражение $4x^2 - 1$ является разностью квадратов:
$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)$.
Собирая все множители вместе, получаем:
$4x^4 + 4x^3 - 25x^2 - x + 6 = (x - 2)(x + 3)(2x - 1)(2x + 1)$.
Ответ: $(x - 2)(x + 3)(2x - 1)(2x + 1)$.

2) Разложим на множители многочлен $P(x) = x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5$.
Найдем его целые корни, которые должны быть делителями свободного члена 5. Возможные целые корни: $\pm1, \pm5$.
Проверим $x=-1$:
$P(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^3 - 14(-1)^2 - 6(-1) + 5 = 1 - 2(-1) - 14(1) + 6 + 5 = 1 + 2 - 14 + 6 + 5 = 0$.
Так как $P(-1)=0$, то $(x+1)$ является множителем многочлена. Выполним деление $P(x)$ на $(x+1)$:
$(x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5) : (x + 1) = x^3 - 3x^2 - 11x + 5$.
Теперь нужно разложить на множители кубический многочлен $Q(x) = x^3 - 3x^2 - 11x + 5$. Его возможные целые корни также являются делителями числа 5, то есть $\pm1, \pm5$.
Проверим $x=5$:
$Q(5) = 5^3 - 3(5^2) - 11(5) + 5 = 125 - 3 \cdot 25 - 55 + 5 = 125 - 75 - 55 + 5 = 0$.
Так как $Q(5)=0$, то $(x-5)$ является множителем $Q(x)$. Разделим $Q(x)$ на $(x-5)$:
$(x^3 - 3x^2 - 11x + 5) : (x - 5) = x^2 + 2x - 1$.
Осталось рассмотреть квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 1$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$.
Поскольку дискриминант $D=8$ не является полным квадратом, у трехчлена нет рациональных корней, и он неразложим на линейные множители с рациональными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена на множители имеет вид:
$x^4 - 2x^3 - 14x^2 - 6x + 5 = (x + 1)(x - 5)(x^2 + 2x - 1)$.
Ответ: $(x + 1)(x - 5)(x^2 + 2x - 1)$.

744. Сократить дробь:

1) $ \frac{x^3 + 2x^2 + 9}{x^3 - 2x^2 + 4x - 3} $

2) $ \frac{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}{2x^3 + x^2 + 1} $

3) $ \frac{x^4 - 2x^3 + x - 2}{2x^4 - 3x^3 - x - 6} $

4) $ \frac{2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 5x - 3}{2x^3 - 5x^2 - 2x - 3} $

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3 + 2x^2 + 9}{x^3 - 2x^2 + 4x - 3}$, нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни многочленов.
Рассмотрим числитель $P(x) = x^3 + 2x^2 + 9$. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни являются делителями свободного члена 9: $\pm1, \pm3, \pm9$.
Проверим $x = -3$: $P(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 + 9 = -27 + 2(9) + 9 = -27 + 18 + 9 = 0$.
Так как $x = -3$ является корнем, то многочлен $P(x)$ делится на $(x+3)$ без остатка. Выполним деление столбиком:
$(x^3 + 2x^2 + 9) \div (x+3) = x^2 - x + 3$.
Таким образом, числитель $x^3 + 2x^2 + 9 = (x+3)(x^2 - x + 3)$.
Рассмотрим знаменатель $Q(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 3$. Возможные целые корни являются делителями свободного члена -3: $\pm1, \pm3$.
Проверим $x = 1$: $Q(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 4(1) - 3 = 1 - 2 + 4 - 3 = 0$.
Так как $x = 1$ является корнем, то многочлен $Q(x)$ делится на $(x-1)$ без остатка. Выполним деление столбиком:
$(x^3 - 2x^2 + 4x - 3) \div (x-1) = x^2 - x + 3$.
Таким образом, знаменатель $x^3 - 2x^2 + 4x - 3 = (x-1)(x^2 - x + 3)$.
Теперь можем сократить дробь:
$\frac{x^3 + 2x^2 + 9}{x^3 - 2x^2 + 4x - 3} = \frac{(x+3)(x^2 - x + 3)}{(x-1)(x^2 - x + 3)} = \frac{x+3}{x-1}$.
(Множитель $x^2 - x + 3$ не раскладывается на линейные множители, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(3) = -11 < 0$).
Ответ: $\frac{x+3}{x-1}$

2) Сократим дробь $\frac{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}{2x^3 + x^2 + 1}$. Найдем общий множитель числителя и знаменателя.
Рассмотрим числитель $P(x) = x^3 + 2x^2 + 2x + 1$. Возможные целые корни: $\pm1$.
Проверим $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0$.
Значит, $(x+1)$ — множитель числителя.
Рассмотрим знаменатель $Q(x) = 2x^3 + x^2 + 1$. Проверим, является ли $x = -1$ его корнем.
$Q(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 + 1 = -2 + 1 + 1 = 0$.
Значит, $(x+1)$ — общий множитель. Разделим числитель и знаменатель на $(x+1)$.
Деление числителя: $(x^3 + 2x^2 + 2x + 1) \div (x+1) = x^2 + x + 1$.
Деление знаменателя: $(2x^3 + x^2 + 1) \div (x+1) = 2x^2 - x + 1$.
Получаем:
$\frac{x^3 + 2x^2 + 2x + 1}{2x^3 + x^2 + 1} = \frac{(x+1)(x^2 + x + 1)}{(x+1)(2x^2 - x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{2x^2 - x + 1}$.
(Квадратные трехчлены $x^2+x+1$ и $2x^2-x+1$ не имеют действительных корней, так как их дискриминанты отрицательны).
Ответ: $\frac{x^2 + x + 1}{2x^2 - x + 1}$

3) Сократим дробь $\frac{x^4 - 2x^3 + x - 2}{2x^4 - 3x^3 - x - 6}$.
Разложим на множители числитель $P(x) = x^4 - 2x^3 + x - 2$, используя метод группировки:
$P(x) = (x^4 - 2x^3) + (x - 2) = x^3(x-2) + 1(x-2) = (x-2)(x^3+1)$.
Используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, получаем:
$P(x) = (x-2)(x+1)(x^2-x+1)$.
Корни числителя: $x=2$ и $x=-1$. Проверим, являются ли они корнями знаменателя $Q(x) = 2x^4 - 3x^3 - x - 6$.
Проверим $x=2$: $Q(2) = 2(2^4) - 3(2^3) - 2 - 6 = 2(16) - 3(8) - 8 = 32 - 24 - 8 = 0$.
Проверим $x=-1$: $Q(-1) = 2(-1)^4 - 3(-1)^3 - (-1) - 6 = 2(1) - 3(-1) + 1 - 6 = 2 + 3 + 1 - 6 = 0$.
Оба значения являются корнями, значит, знаменатель делится на $(x-2)(x+1) = x^2-x-2$.
Выполним деление столбиком:
$(2x^4 - 3x^3 - x - 6) \div (x^2-x-2) = 2x^2 - x + 3$.
Знаменатель равен $(x-2)(x+1)(2x^2-x+3)$.
Теперь сокращаем дробь:
$\frac{(x-2)(x+1)(x^2-x+1)}{(x-2)(x+1)(2x^2-x+3)} = \frac{x^2-x+1}{2x^2-x+3}$.
Ответ: $\frac{x^2 - x + 1}{2x^2 - x + 3}$

4) Сократим дробь $\frac{2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 5x - 3}{2x^3 - 5x^2 - 2x - 3}$.
Найдем корень знаменателя $Q(x) = 2x^3 - 5x^2 - 2x - 3$. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm3, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$.
Проверим $x=3$: $Q(3) = 2(3^3) - 5(3^2) - 2(3) - 3 = 2(27) - 5(9) - 6 - 3 = 54 - 45 - 6 - 3 = 0$.
Значит, $(x-3)$ — множитель знаменателя. Проверим, является ли $x=3$ корнем числителя $P(x) = 2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 5x - 3$.
$P(3) = 2(3^4) - 3(3^3) - 7(3^2) - 5(3) - 3 = 2(81) - 3(27) - 7(9) - 15 - 3 = 162 - 81 - 63 - 15 - 3 = 0$.
Так как $x=3$ общий корень, разделим числитель и знаменатель на $(x-3)$.
Деление числителя: $(2x^4 - 3x^3 - 7x^2 - 5x - 3) \div (x-3) = 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1$.
Деление знаменателя: $(2x^3 - 5x^2 - 2x - 3) \div (x-3) = 2x^2 + x + 1$.
Дробь принимает вид: $\frac{2x^3 + 3x^2 + 2x + 1}{2x^2 + x + 1}$.
Попробуем разделить числитель на знаменатель. Это можно сделать группировкой или делением столбиком.
$2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = (2x^3 + x^2 + x) + (2x^2 + x + 1) = x(2x^2 + x + 1) + 1(2x^2 + x + 1) = (x+1)(2x^2 + x + 1)$.
Таким образом, дробь можно сократить дальше:
$\frac{(x+1)(2x^2 + x + 1)}{2x^2 + x + 1} = x+1$.
Ответ: $x+1$

745. Найти разложение бинома:

1) $(x-1)^5$;

2) $(a+3)^4$.

Для разложения бинома используется формула бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n a^0 b^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты также можно найти, используя треугольник Паскаля.

1) $(x - 1)^5$

В данном случае $a = x$, $b = -1$ и $n = 5$.

Найдем биномиальные коэффициенты $C_5^k$ для $k$ от 0 до 5. Они соответствуют строке для $n=5$ в треугольнике Паскаля: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Применим формулу бинома Ньютона:

$(x - 1)^5 = (x + (-1))^5 = C_5^0 x^5 (-1)^0 + C_5^1 x^4 (-1)^1 + C_5^2 x^3 (-1)^2 + C_5^3 x^2 (-1)^3 + C_5^4 x^1 (-1)^4 + C_5^5 x^0 (-1)^5$

Подставим значения коэффициентов и выполним вычисления:

$= 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-1) + 10 \cdot x^3 \cdot 1 + 10 \cdot x^2 \cdot (-1) + 5 \cdot x \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)$

Упростим выражение:

$= x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

Ответ: $x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1$

2) $(a + 3)^4$

В данном случае $a = a$, $b = 3$ и $n = 4$.

Найдем биномиальные коэффициенты $C_4^k$ для $k$ от 0 до 4. Они соответствуют строке для $n=4$ в треугольнике Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1.

Применим формулу бинома Ньютона:

$(a + 3)^4 = C_4^0 a^4 3^0 + C_4^1 a^3 3^1 + C_4^2 a^2 3^2 + C_4^3 a^1 3^3 + C_4^4 a^0 3^4$

Подставим значения коэффициентов и выполним вычисления:

$= 1 \cdot a^4 \cdot 1 + 4 \cdot a^3 \cdot 3 + 6 \cdot a^2 \cdot 9 + 4 \cdot a \cdot 27 + 1 \cdot 1 \cdot 81$

Упростим выражение:

$= a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$

Ответ: $a^4 + 12a^3 + 54a^2 + 108a + 81$

Упростить выражение (746—748).

746. 1) $\frac{a+2}{a-2} \cdot \left( \frac{2a^2-a-3}{a^2+5a+6} : \frac{2a-3}{a-2} \right);$

2) $\left(2+\frac{1}{b}\right) : \frac{8b^2+8b+2}{b^2-4b} \cdot \frac{2b+1}{b}.$

1) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действие в скобках — деление дробей. Для этого заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях.

Выражение в скобках: $\frac{2a^2 - a - 3}{a^2 + 5a + 6} : \frac{2a-3}{a-2}$

Разложим на множители числитель $2a^2 - a - 3$. Найдем корни уравнения $2a^2 - a - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $a_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ и $a_2 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$.
Следовательно, $2a^2 - a - 3 = 2(a - \frac{3}{2})(a - (-1)) = (2a-3)(a+1)$.

Разложим на множители знаменатель $a^2 + 5a + 6$. По теореме Виета, для уравнения $a^2 + 5a + 6 = 0$ сумма корней равна $-5$, а произведение равно $6$. Корни равны $-2$ и $-3$.
Следовательно, $a^2 + 5a + 6 = (a+2)(a+3)$.

Теперь выполним действие в скобках:
$\frac{2a^2 - a - 3}{a^2 + 5a + 6} : \frac{2a-3}{a-2} = \frac{(2a-3)(a+1)}{(a+2)(a+3)} \cdot \frac{a-2}{2a-3}$
Сокращаем общий множитель $(2a-3)$:
$\frac{(a+1)(a-2)}{(a+2)(a+3)}$

Теперь умножим полученный результат на дробь, стоящую перед скобками:
$\frac{a+2}{a-2} \cdot \frac{(a+1)(a-2)}{(a+2)(a+3)} = \frac{(a+2)(a+1)(a-2)}{(a-2)(a+2)(a+3)}$

Сократим общие множители $(a+2)$ и $(a-2)$:
$\frac{\cancel{(a+2)}(a+1)\cancel{(a-2)}}{\cancel{(a-2)}\cancel{(a+2)}(a+3)} = \frac{a+1}{a+3}$

Ответ: $\frac{a+1}{a+3}$

2) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, приведя к общему знаменателю $b$.

$2 + \frac{1}{b} = \frac{2 \cdot b}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2b+1}{b}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$ \frac{2b+1}{b} : \frac{8b^2 + 8b + 2}{b^2 - 4b} \cdot \frac{2b+1}{b} $

Выполним действия в порядке их следования: сначала деление, затем умножение. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{2b+1}{b} \cdot \frac{b^2 - 4b}{8b^2 + 8b + 2} \cdot \frac{2b+1}{b}$

Разложим на множители числители и знаменатели, где это возможно:

$b^2 - 4b = b(b-4)$

$8b^2 + 8b + 2 = 2(4b^2 + 4b + 1) = 2(2b+1)^2$ (используя формулу квадрата суммы)

Подставим разложенные выражения обратно:

$\frac{2b+1}{b} \cdot \frac{b(b-4)}{2(2b+1)^2} \cdot \frac{2b+1}{b}$

Запишем все под одной дробной чертой и сгруппируем множители:

$\frac{(2b+1) \cdot b(b-4) \cdot (2b+1)}{b \cdot 2(2b+1)^2 \cdot b} = \frac{b(b-4)(2b+1)^2}{2b^2(2b+1)^2}$

Сократим общие множители $b$ и $(2b+1)^2$:

$\frac{\cancel{b}(b-4)\cancel{(2b+1)^2}}{2b^{\cancel{2}}\cancel{(2b+1)^2}} = \frac{b-4}{2b}$

Ответ: $\frac{b-4}{2b}$

747. 1) $\frac{a}{a^2 - 1} + \frac{a^2 + a - 1}{a^3 - a^2 + a - 1} + \frac{a^2 - a - 1}{a^3 + a^2 + a + 1} - \frac{2a^3}{a^4 - 1};$

2) $\frac{1}{a^2 + 5a + 6} + \frac{2a}{a^2 + 4a + 3} + \frac{1}{(a+1)^2 + a + 1} - \frac{2}{a+3}.$

1) Упростим выражение $\frac{a}{a^2-1} + \frac{a^2+a-1}{a^3-a^2+a-1} + \frac{a^2-a-1}{a^3+a^2+a+1} - \frac{2a^3}{a^4-1}$.

Для начала разложим на множители знаменатели каждой дроби:

• $a^2-1 = (a-1)(a+1)$
• $a^3-a^2+a-1 = a^2(a-1)+(a-1) = (a-1)(a^2+1)$
• $a^3+a^2+a+1 = a^2(a+1)+(a+1) = (a+1)(a^2+1)$
• $a^4-1 = (a^2-1)(a^2+1) = (a-1)(a+1)(a^2+1)$

Перепишем исходное выражение с разложенными знаменателями:

$\frac{a}{(a-1)(a+1)} + \frac{a^2+a-1}{(a-1)(a^2+1)} + \frac{a^2-a-1}{(a+1)(a^2+1)} - \frac{2a^3}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}$

Сгруппируем второе и третье слагаемые и приведем их к общему знаменателю $(a-1)(a+1)(a^2+1)$:

$\frac{a^2+a-1}{(a-1)(a^2+1)} + \frac{a^2-a-1}{(a+1)(a^2+1)} = \frac{(a^2+a-1)(a+1) + (a^2-a-1)(a-1)}{(a-1)(a+1)(a^2+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a^3+a^2+a^2+a-a-1) + (a^3-a^2-a^2+a-a+1) = (a^3+2a^2-1) + (a^3-2a^2+1) = 2a^3$

Таким образом, сумма второго и третьего слагаемых равна:

$\frac{2a^3}{(a-1)(a+1)(a^2+1)} = \frac{2a^3}{a^4-1}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$\frac{a}{a^2-1} + \frac{2a^3}{a^4-1} - \frac{2a^3}{a^4-1}$

Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются:

$\frac{a}{a^2-1} + 0 = \frac{a}{a^2-1}$

Ответ: $\frac{a}{a^2-1}$

2) Упростим выражение $\frac{1}{a^2+5a+6} + \frac{2a}{a^2+4a+3} + \frac{1}{(a+1)^2+a+1} - \frac{2}{a+3}$.

Разложим на множители знаменатели:

• $a^2+5a+6 = (a+2)(a+3)$ (корни квадратного трехчлена -2 и -3)
• $a^2+4a+3 = (a+1)(a+3)$ (корни квадратного трехчлена -1 и -3)
• $(a+1)^2+a+1 = a^2+2a+1+a+1 = a^2+3a+2 = (a+1)(a+2)$
• $a+3$ - уже является простым множителем.

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{(a+2)(a+3)} + \frac{2a}{(a+1)(a+3)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} - \frac{2}{a+3}$

Сгруппируем слагаемые. Объединим первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым.

Сумма первой пары:

$\frac{1}{(a+2)(a+3)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} = \frac{a+1+a+3}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2a+4}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2(a+2)}{(a+1)(a+2)(a+3)} = \frac{2}{(a+1)(a+3)}$

Сумма второй пары:

$\frac{2a}{(a+1)(a+3)} - \frac{2}{a+3} = \frac{2a-2(a+1)}{(a+1)(a+3)} = \frac{2a-2a-2}{(a+1)(a+3)} = \frac{-2}{(a+1)(a+3)}$

Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{2}{(a+1)(a+3)} + \frac{-2}{(a+1)(a+3)} = \frac{2-2}{(a+1)(a+3)} = \frac{0}{(a+1)(a+3)} = 0$

Ответ: $0$

748. 1) $ \frac{1}{4+4\sqrt{a}} - \frac{1}{2-2a} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} $

2) $ \frac{a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1}{a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a} $

1) Упростим выражение $ \frac{1}{4+4\sqrt{a}} - \frac{1}{2-2a} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} $.

Сначала сгруппируем первое и третье слагаемые, так как их знаменатели содержат сопряженные выражения:

$ \left( \frac{1}{4+4\sqrt{a}} + \frac{1}{4-4\sqrt{a}} \right) - \frac{1}{2-2a} $

В знаменателях первой и третьей дробей вынесем общий множитель 4 за скобки. В знаменателе второй дроби вынесем 2 за скобки.

$ \left( \frac{1}{4(1+\sqrt{a})} + \frac{1}{4(1-\sqrt{a})} \right) - \frac{1}{2(1-a)} $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для них будет $4(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a})$. Используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, получаем:

$ 4(1+\sqrt{a})(1-\sqrt{a}) = 4(1^2 - (\sqrt{a})^2) = 4(1-a) $

Выполним сложение дробей в скобках:

$ \frac{1 \cdot (1-\sqrt{a}) + 1 \cdot (1+\sqrt{a})}{4(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} = \frac{1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}}{4(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} $

Упростим числитель первой дроби:

$ \frac{2}{4(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} $

Сократим первую дробь на 2:

$ \frac{1}{2(1-a)} - \frac{1}{2(1-a)} = 0 $

Данное равенство верно при всех допустимых значениях $a$, для которых знаменатели не обращаются в нуль, т.е. при $a \ge 0$ и $a \neq 1$.

Ответ: $0$

2) Упростим выражение $ \frac{a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1}{a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a} $.

Для упрощения дроби разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.

Разложим на множители числитель $a\sqrt{2} + a - \sqrt{2} - 1$:

$ (a\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (a - 1) = \sqrt{2}(a - 1) + 1(a - 1) = (a - 1)(\sqrt{2} + 1) $

Разложим на множители знаменатель $a\sqrt{2} - 2 - \sqrt{2} + 2a$. Сначала сгруппируем слагаемые:

$ (a\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (2a - 2) = \sqrt{2}(a - 1) + 2(a - 1) = (a - 1)(\sqrt{2} + 2) $

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{(a - 1)(\sqrt{2} + 1)}{(a - 1)(\sqrt{2} + 2)} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неравенства знаменателя нулю: $(a - 1)(\sqrt{2} + 2) \neq 0$. Так как $\sqrt{2}+2 \neq 0$, то $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$. При этом условии мы можем сократить дробь на общий множитель $(a-1)$:

$ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 2} $

Для дальнейшего упрощения вынесем $\sqrt{2}$ в знаменателе за скобки:

$ \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})} $

Сократим дробь на $(\sqrt{2} + 1)$:

$ \frac{1}{\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$ \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

749. Упростить выражение и найти его значение:

1) $(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}) \cdot (1 - \sqrt{\frac{a-x}{a+x}})$ при $a=5, x=4;$

2) $\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}} - \frac{a-\sqrt{a^2-x^2}}{a+\sqrt{a^2-x^2}}$ при $a=3, x=\sqrt{5}.$

1)

Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов $(b+c)(b-c) = b^2 - c^2$.

Воспользуемся этой формулой для упрощения:

$\left(1 + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) \cdot \left(1 - \sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right) = 1^2 - \left(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right)^2 = 1 - \frac{a-x}{a+x}$

Теперь приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$1 - \frac{a-x}{a+x} = \frac{a+x}{a+x} - \frac{a-x}{a+x} = \frac{(a+x) - (a-x)}{a+x} = \frac{a+x-a+x}{a+x} = \frac{2x}{a+x}$

Подставим заданные значения $a=5$ и $x=4$ в упрощенное выражение:

$\frac{2x}{a+x} = \frac{2 \cdot 4}{5+4} = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$.

2)

Для упрощения выражения приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей исходных дробей.

Знаменатель: $(a-\sqrt{a^2-x^2})(a+\sqrt{a^2-x^2})$. Применим формулу разности квадратов:

$(a-\sqrt{a^2-x^2})(a+\sqrt{a^2-x^2}) = a^2 - (\sqrt{a^2-x^2})^2 = a^2 - (a^2-x^2) = a^2-a^2+x^2=x^2$.

Числитель итоговой дроби будет равен $(a+\sqrt{a^2-x^2})^2 - (a-\sqrt{a^2-x^2})^2$. Это также разность квадратов вида $B^2 - C^2 = (B-C)(B+C)$, где $B = a+\sqrt{a^2-x^2}$ и $C = a-\sqrt{a^2-x^2}$.

Найдем $B-C$ и $B+C$:

$B-C = (a+\sqrt{a^2-x^2}) - (a-\sqrt{a^2-x^2}) = a+\sqrt{a^2-x^2} - a+\sqrt{a^2-x^2} = 2\sqrt{a^2-x^2}$

$B+C = (a+\sqrt{a^2-x^2}) + (a-\sqrt{a^2-x^2}) = 2a$

Следовательно, числитель равен произведению $(B-C)(B+C) = (2\sqrt{a^2-x^2})(2a) = 4a\sqrt{a^2-x^2}$.

Таким образом, исходное выражение упрощается до вида:

$\frac{4a\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}$

Теперь подставим в него значения $a=3$ и $x=\sqrt{5}$:

$\frac{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{12 \cdot \sqrt{9-5}}{5} = \frac{12 \cdot \sqrt{4}}{5} = \frac{12 \cdot 2}{5} = \frac{24}{5}$

Ответ: $\frac{24}{5}$.

Упростить выражение (750–756).

750. 1) $\frac{\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot \left(\frac{\frac{1}{x^2}}{1-x^2} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}-x}\right);$

2) $\frac{m+2m^{\frac{1}{2}}+1}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \left(\frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1}\right).$

1) Упростим выражение по частям. Сначала выполним вычитание в скобках: $ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1-x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}-x} $
Заметим, что знаменатель второй дроби можно разложить на множители: $ x^{\frac{1}{2}}-x = x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}}) $.
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}}) $: $ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} = \frac{(x^{\frac{1}{2}})^2 - 1}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} = \frac{x-1}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} $
Числитель $ x-1 $ можно разложить по формуле разности квадратов: $ x-1 = (x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1) $.
Также заметим, что $ x^{\frac{1}{2}}-1 = -(1-x^{\frac{1}{2}}) $. Подставим это в нашу дробь: $ \frac{(x^{\frac{1}{2}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} = \frac{-(1-x^{\frac{1}{2}})(1+x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}(1-x^{\frac{1}{2}})} $
Сокращаем на $ (1-x^{\frac{1}{2}}) $ (при условии, что $ x \neq 1 $) и получаем: $ -\frac{1+x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} $
Теперь умножим результат на первую дробь из исходного выражения: $ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{1+x^{\frac{1}{2}}} \cdot \left( -\frac{1+x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \right) $
Сокращаем $ x^{\frac{1}{2}} $ в числителе и знаменателе, а также $ (1+x^{\frac{1}{2}}) $. В итоге остается: $ -1 $
Ответ: $ -1 $

2) Упростим выражение по частям. Сначала преобразуем первый множитель. Числитель $ m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1 $ является полным квадратом: $ m + 2m^{\frac{1}{2}} + 1 = (m^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^2 = (m^{\frac{1}{2}} + 1)^2 $
Таким образом, первый множитель равен: $ \frac{(m^{\frac{1}{2}} + 1)^2}{2m^{\frac{1}{2}}} $
Теперь упростим выражение в скобках: $ \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} $
Знаменатель второй дроби $ m-1 $ можно разложить как разность квадратов: $ m-1 = (m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1) $.
Приведем дроби к общему знаменателю $ m-1 $: $ \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1)}{m-1} - \frac{4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} = \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}+1) - 4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} $
Раскроем скобки в числителе и упростим: $ \frac{2m + 2m^{\frac{1}{2}} - 4m^{\frac{1}{2}}}{m-1} = \frac{2m - 2m^{\frac{1}{2}}}{m-1} $
Вынесем общий множитель в числителе: $ \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)}{m-1} = \frac{2m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}}-1)}{(m^{\frac{1}{2}}-1)(m^{\frac{1}{2}}+1)} $
Сокращаем на $ (m^{\frac{1}{2}}-1) $ (при условии, что $ m \neq 1 $): $ \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}+1} $
Теперь перемножим оба упрощенных выражения: $ \frac{(m^{\frac{1}{2}} + 1)^2}{2m^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}+1} $
Сокращаем $ 2m^{\frac{1}{2}} $ в числителе и знаменателе и один множитель $ (m^{\frac{1}{2}}+1) $. Получаем: $ m^{\frac{1}{2}} + 1 $
Ответ: $ m^{\frac{1}{2}} + 1 $

751. 1) $6n \cdot \sqrt{\frac{m}{2n}} \cdot \sqrt{18mn};$

2) $\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}}.$

1)

Для упрощения выражения $6n \cdot \sqrt{\frac{m}{2n}} \cdot \sqrt{18mn}$ воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$. Это свойство справедливо при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. В данном случае $\frac{m}{2n} \ge 0$ и $18mn \ge 0$, что выполняется, когда $m$ и $n$ имеют одинаковый знак (или $m=0$, а $n \ne 0$).

1. Объединим два корня в один:

$6n \cdot \sqrt{\frac{m}{2n} \cdot 18mn}$

2. Упростим выражение под корнем. Сократим $n$ в числителе и знаменателе (при $n \ne 0$):

$\frac{m}{2n} \cdot 18mn = \frac{18m^2n}{2n} = 9m^2$

3. Теперь исходное выражение выглядит так:

$6n \cdot \sqrt{9m^2}$

4. Извлечем квадратный корень. Важно помнить, что $\sqrt{x^2} = |x|$, так как переменная $m$ может быть отрицательной.

$\sqrt{9m^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{m^2} = 3|m|$

5. Подставим полученное значение обратно в выражение и выполним умножение:

$6n \cdot 3|m| = 18n|m|$

Ответ: $18n|m|$

2)

Упростим выражение $\frac{a-1}{a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{2}} + 1} \cdot a^{\frac{1}{4}}$.

Выражение имеет смысл при $a > 0$, так как $a$ находится в основании степеней с дробными показателями, а также в знаменателях.

1. Для удобства введем замену. Пусть $x = a^{\frac{1}{4}}$. Тогда:

• $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 = x^2$
• $a^{\frac{3}{4}} = (a^{\frac{1}{4}})^3 = x^3$
• $a = (a^{\frac{1}{4}})^4 = x^4$

2. Подставим $x$ в исходное выражение:

$\frac{x^4-1}{x^3 + x^2} \cdot \frac{x^2 + x}{x^2 + 1} \cdot x$

3. Разложим числители и знаменатели на множители:

• $x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$
• $x^3 + x^2 = x^2(x+1)$
• $x^2 + x = x(x+1)$

4. Подставим разложенные выражения и запишем всё в виде одной дроби:

$\frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^2(x+1)} \cdot \frac{x(x+1)}{x^2+1} \cdot x = \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1) \cdot x(x+1) \cdot x}{x^2(x+1)(x^2+1)}$

5. Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $x^2$, $(x+1)$ и $(x^2+1)$.

$\frac{(x-1)\sout{(x+1)}\sout{(x^2+1)} \cdot \sout{x}(x+1) \cdot \sout{x}}{\sout{x^2}\sout{(x+1)}\sout{(x^2+1)}} = (x-1)(x+1)$

6. Упростим полученное выражение по формуле разности квадратов:

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

7. Выполним обратную замену, подставив $a^{\frac{1}{2}}$ вместо $x^2$:

$x^2 - 1 = a^{\frac{1}{2}} - 1$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$