Страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

818. 1) $ (x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) = 20(x + 3)^2; $

2) $ 4(x^2 - 4x + 1)^2 + 10(x - 2)^2 = 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2). $

1) $(x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) = 20(x + 3)^2$

Это уравнение является однородным уравнением второй степени относительно выражений $A = x^2 - x - 2$ и $B = x + 3$. Перепишем его в виде:

$(x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) - 20(x + 3)^2 = 0$

Сначала проверим, является ли $x+3=0$ решением. Если $x+3=0$, то $x=-3$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$((-3)^2 - (-3) - 2)^2 + ((-3)^2 - (-3) - 2)(-3+3) = 20(-3+3)^2$

$(9 + 3 - 2)^2 + (10)(0) = 20(0)^2$

$10^2 = 0$

$100 = 0$

Получено неверное равенство, значит $x=-3$ не является корнем уравнения. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(x+3)^2 \neq 0$.

$\frac{(x^2 - x - 2)^2}{(x + 3)^2} + \frac{(x^2 - x - 2)(x + 3)}{(x + 3)^2} - \frac{20(x + 3)^2}{(x + 3)^2} = 0$

$(\frac{x^2 - x - 2}{x + 3})^2 + (\frac{x^2 - x - 2}{x + 3}) - 20 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x^2 - x - 2}{x + 3}$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + t - 20 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-20$. Корни:

$t_1 = -5$, $t_2 = 4$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = -5$

$\frac{x^2 - x - 2}{x + 3} = -5$

$x^2 - x - 2 = -5(x + 3)$

$x^2 - x - 2 = -5x - 15$

$x^2 + 4x + 13 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$. Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $t = 4$

$\frac{x^2 - x - 2}{x + 3} = 4$

$x^2 - x - 2 = 4(x + 3)$

$x^2 - x - 2 = 4x + 12$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$. Корни:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$

Ответ: -2; 7.

2) $4(x^2 - 4x + 1)^2 + 10(x - 2)^2 = 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$4(x^2 - 4x + 1)^2 - 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2) + 10(x - 2)^2 = 0$

Это однородное уравнение второй степени относительно выражений $A = x^2 - 4x + 1$ и $B = x - 2$.

Проверим случай $B=0$, то есть $x-2=0$, $x=2$.

$4(2^2 - 4 \cdot 2 + 1)^2 - 13(2^2 - 4 \cdot 2 + 1)(2 - 2) + 10(2 - 2)^2 = 0$

$4(4 - 8 + 1)^2 - 13(-3)(0) + 10(0)^2 = 0$

$4(-3)^2 = 0$

$36 = 0$

Получено неверное равенство, значит $x=2$ не является корнем. Можем разделить уравнение на $(x-2)^2 \neq 0$.

$4\frac{(x^2 - 4x + 1)^2}{(x - 2)^2} - 13\frac{(x^2 - 4x + 1)(x - 2)}{(x - 2)^2} + 10\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^2} = 0$

$4(\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2})^2 - 13(\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2}) + 10 = 0$

Введем замену $t = \frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2}$. Получим квадратное уравнение:

$4t^2 - 13t + 10 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 169 - 160 = 9 = 3^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{13 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

$t_2 = \frac{13 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = \frac{5}{4}$

$\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2} = \frac{5}{4}$

$4(x^2 - 4x + 1) = 5(x - 2)$

$4x^2 - 16x + 4 = 5x - 10$

$4x^2 - 21x + 14 = 0$

Найдем дискриминант $D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 441 - 224 = 217$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{217}}{8}$.

Случай 2: $t = 2$

$\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2} = 2$

$x^2 - 4x + 1 = 2(x - 2)$

$x^2 - 4x + 1 = 2x - 4$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение равно 5. Корни:

$x_3 = 1$, $x_4 = 5$

Ответ: $1; 5; \frac{21 - \sqrt{217}}{8}; \frac{21 + \sqrt{217}}{8}$.

819. 1) $ \frac{x^2 - x + 3}{x^2 - x + 1} + \frac{x^2 - x - 4}{x^2 - x + 2} = 5; $

2) $ \frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1} + \frac{x^2 + x + 6}{x^2 + x + 3} = 4. $

Исходное уравнение: $\frac{x^2 - x + 3}{x^2 - x + 1} + \frac{x^2 - x - 4}{x^2 - x + 2} = 5$.

Заметим, что выражение $x^2 - x$ повторяется во всех числителях и знаменателях. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 - x$.

Прежде чем подставлять, исследуем область значений функции $f(x) = x^2 - x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Минимальное значение функции: $y_{min} = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется условие $y \ge -\frac{1}{4}$.

Знаменатели $x^2 - x + 1$ и $x^2 - x + 2$ не обращаются в ноль ни при каких действительных $x$, так как их дискриминанты отрицательны ($D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$; $D_2 = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$).

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$\frac{y + 3}{y + 1} + \frac{y - 4}{y + 2} = 5$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(y+1)(y+2)$:

$\frac{(y + 3)(y + 2) + (y - 4)(y + 1)}{(y + 1)(y + 2)} = 5$

$\frac{(y^2 + 5y + 6) + (y^2 - 3y - 4)}{y^2 + 3y + 2} = 5$

$\frac{2y^2 + 2y + 2}{y^2 + 3y + 2} = 5$

Умножим обе части на знаменатель $y^2 + 3y + 2$ (он не равен нулю, так как $y \ge -1/4$):

$2y^2 + 2y + 2 = 5(y^2 + 3y + 2)$

$2y^2 + 2y + 2 = 5y^2 + 15y + 10$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3y^2 + 13y + 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 169 - 96 = 73$

$y_1 = \frac{-13 + \sqrt{73}}{6}$

$y_2 = \frac{-13 - \sqrt{73}}{6}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $y$ условию $y \ge -\frac{1}{4}$.

Для $y_1$: $\frac{-13 + \sqrt{73}}{6} \ge -\frac{1}{4}$. Умножим на 12: $2(-13 + \sqrt{73}) \ge -3 \implies -26 + 2\sqrt{73} \ge -3 \implies 2\sqrt{73} \ge 23$. Возведем в квадрат обе части (они положительны): $(2\sqrt{73})^2 \ge 23^2 \implies 4 \cdot 73 \ge 529 \implies 292 \ge 529$. Это неверно. Следовательно, $y_1 < -1/4$.

Для $y_2$: $\frac{-13 - \sqrt{73}}{6}$. Так как $\sqrt{73} > 0$, это значение очевидно меньше, чем $y_1$, и, следовательно, также меньше $-\frac{1}{4}$.

Поскольку оба найденных значения $y$ лежат вне области значений функции $x^2 - x$, не существует такого действительного числа $x$, для которого $x^2-x$ было бы равно $y_1$ или $y_2$. Таким образом, исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

Исходное уравнение: $\frac{x^2 + x + 2}{x^2 + x + 1} + \frac{x^2 + x + 6}{x^2 + x + 3} = 4$.

Преобразуем дроби, выделив целую часть:

$\frac{(x^2 + x + 1) + 1}{x^2 + x + 1} + \frac{(x^2 + x + 3) + 3}{x^2 + x + 3} = 4$

$1 + \frac{1}{x^2 + x + 1} + 1 + \frac{3}{x^2 + x + 3} = 4$

$2 + \frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{3}{x^2 + x + 3} = 4$

$\frac{1}{x^2 + x + 1} + \frac{3}{x^2 + x + 3} = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + x$. Знаменатели $x^2 + x + 1$ и $x^2 + x + 3$ не равны нулю ни при каких действительных $x$, так как их дискриминанты отрицательны.

Подставим $y$ в преобразованное уравнение:

$\frac{1}{y + 1} + \frac{3}{y + 3} = 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(y+1)(y+3)$:

$\frac{(y + 3) + 3(y + 1)}{(y + 1)(y + 3)} = 2$

$\frac{y + 3 + 3y + 3}{y^2 + 4y + 3} = 2$

$\frac{4y + 6}{y^2 + 4y + 3} = 2$

Умножим обе части на знаменатель:

$4y + 6 = 2(y^2 + 4y + 3)$

$4y + 6 = 2y^2 + 8y + 6$

$2y^2 + 4y = 0$

$2y(y + 2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $y = 0$.

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

Случай 2: $y = -2$.

$x^2 + x = -2$

$x^2 + x + 2 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только $x=0$ и $x=-1$.

Ответ: $0; -1$.

820. 1) $ \frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12} $

2) $ (2x - \frac{3}{x}) + (4x^2 + \frac{9}{x^2}) = 42 $

1) Решим уравнение $\frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $x \neq -2$, $x \neq -1$.
Заметим, что знаменатели связаны между собой. Раскроем скобки в знаменателях: $x(x+2) = x^2+2x$ и $(x+1)^2 = x^2+2x+1$.
Введем замену переменной. Пусть $y = x^2+2x$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{1}{y} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{12}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{y+1-y}{y(y+1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{y(y+1)} = \frac{1}{12}$
Отсюда следует, что $y(y+1) = 12$.
$y^2 + y - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни легко находятся подбором: $y_1 = 3$ и $y_2 = -4$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 3$
$x^2+2x = 3$
$x^2+2x-3 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -4$
$x^2+2x = -4$
$x^2+2x+4 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2-4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=1$ и $x=-3$.
Ответ: $1; -3$.

2) Решим уравнение $(2x - \frac{3}{x}) + (4x^2 + \frac{9}{x^2}) = 42$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Это уравнение решается с помощью введения новой переменной. Пусть $t = 2x - \frac{3}{x}$.
Возведем это выражение в квадрат, чтобы связать его со вторым слагаемым в уравнении:
$t^2 = (2x - \frac{3}{x})^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{3}{x} + (\frac{3}{x})^2 = 4x^2 - 12 + \frac{9}{x^2}$
Отсюда выразим второе слагаемое исходного уравнения: $4x^2 + \frac{9}{x^2} = t^2 + 12$.
Подставим замену в исходное уравнение:
$t + (t^2 + 12) = 42$
$t^2 + t + 12 - 42 = 0$
$t^2 + t - 30 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $t_1 = 5$, $t_2 = -6$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $t = 5$
$2x - \frac{3}{x} = 5$
Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \neq 0$):
$2x^2 - 3 = 5x$
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$
$x_1 = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Случай 2: $t = -6$
$2x - \frac{3}{x} = -6$
$2x^2 - 3 = -6x$
$2x^2 + 6x - 3 = 0$
$D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60$
$x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$
$x_3 = \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}$
$x_4 = \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$

Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $3; -0,5; \frac{-3 + \sqrt{15}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{15}}{2}$.

821. Пересекает ли график функции $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ось $Ox$ в точках, абсциссы которых являются целыми числами?

Для того чтобы определить, пересекает ли график функции ось $Ox$, необходимо найти точки, в которых значение функции равно нулю. То есть, нужно решить уравнение $y = 0$.

Приравняем данное уравнение к нулю:

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Вопрос задачи сводится к тому, имеет ли это кубическое уравнение целые корни. Для поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами можно использовать теорему о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если у уравнения есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, который в данном случае равен $-6$.

Найдем все целые делители числа $-6$: $D = \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\}$.

Теперь подставим эти значения в уравнение и проверим, какое из них обращает его в верное равенство.

1. Проверим $x = 1$:

$1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 12 - 12 = 0$.
Значит, $x_1 = 1$ является корнем уравнения.

2. Проверим $x = 2$:

$2^3 - 6(2)^2 + 11(2) - 6 = 8 - 6(4) + 22 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 30 - 30 = 0$.
Значит, $x_2 = 2$ является корнем уравнения.

3. Проверим $x = 3$:

$3^3 - 6(3)^2 + 11(3) - 6 = 27 - 6(9) + 33 - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 60 - 60 = 0$.
Значит, $x_3 = 3$ является корнем уравнения.

Мы нашли три целых корня: 1, 2 и 3. Поскольку исходное уравнение является кубическим, оно не может иметь более трех корней. Таким образом, все точки пересечения графика с осью $Ox$ имеют целочисленные абсциссы.

Ответ: Да, график функции пересекает ось $Ox$ в точках, абсциссы которых являются целыми числами. Этими абсциссами являются $x=1, x=2, x=3$.

822. Уравнение $2x^3 + mx^2 + nx + 12 = 0$ имеет корни $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. Найти третий корень этого уравнения.

Для нахождения третьего корня кубического уравнения $2x^3 + mx^2 + nx + 12 = 0$, зная два его корня $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$, удобно использовать теорему Виета. Для кубического уравнения общего вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $x_1$, $x_2$ и $x_3$ справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
• $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$
• $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Наиболее простой способ найти третий корень $x_3$ — использовать формулу для произведения корней, так как она не содержит неизвестных коэффициентов $m$ и $n$.

В данном уравнении $2x^3 + mx^2 + nx + 12 = 0$ коэффициенты $a$ и $d$ равны:

$a = 2$

$d = 12$

Известные корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -2$

Подставим эти значения в формулу произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

$1 \cdot (-2) \cdot x_3 = -\frac{12}{2}$

Выполним вычисления:

$-2x_3 = -6$

Теперь найдем $x_3$, разделив обе части уравнения на -2:

$x_3 = \frac{-6}{-2}$

$x_3 = 3$

Ответ: 3

823. Могут ли корни уравнения $ (x - m)(x - n) = k^2 $ быть чисто мнимыми, если $m$, $n$ и $k$ — действительные числа?

Для решения данной задачи преобразуем исходное уравнение и проанализируем его свойства.

Дано уравнение: $(x - m)(x - n) = k^2$, где $m, n, k$ — действительные числа ($m, n, k \in \mathbb{R}$).

Раскроем скобки, чтобы привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - nx - mx + mn = k^2$
$x^2 - (m+n)x + (mn - k^2) = 0$

Коэффициенты этого уравнения: $a = 1$, $b = -(m+n)$, $c = mn - k^2$. Поскольку $m, n, k$ — действительные числа, все коэффициенты уравнения также являются действительными.

Предположим, что корни этого уравнения являются чисто мнимыми. Чисто мнимое число имеет вид $x = iy$, где $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$), а $y$ — действительное число, отличное от нуля ($y \in \mathbb{R}, y \neq 0$). Если бы $y=0$, корень $x=0$ был бы действительным.

В квадратном уравнении с действительными коэффициентами, если есть один комплексный корень, то второй корень обязательно будет ему комплексно-сопряженным. Таким образом, если один корень $x_1 = iy$, то второй корень должен быть $x_2 = -iy$.

Воспользуемся теоремой Виета для наших корней:
1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = m+n$
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = mn - k^2$

Подставим наши предполагаемые корни $iy$ и $-iy$ в эти соотношения:
1. Сумма корней: $iy + (-iy) = 0$. Следовательно, $m+n = 0$, что означает $m = -n$.
2. Произведение корней: $(iy) \cdot (-iy) = -i^2y^2 = -(-1)y^2 = y^2$. Следовательно, $mn - k^2 = y^2$.

Теперь мы имеем систему из двух условий, которые должны выполняться одновременно:
1. $m = -n$
2. $y^2 = mn - k^2$

Подставим первое условие во второе:
$y^2 = (-n)n - k^2$
$y^2 = -n^2 - k^2$
$y^2 = -(n^2 + k^2)$

Проанализируем полученное равенство.

• Левая часть: $y^2$. По нашему предположению, $y$ — действительное число и $y \neq 0$. Значит, $y^2$ является строго положительным числом: $y^2 > 0$.
• Правая часть: $-(n^2 + k^2)$. Поскольку $n$ и $k$ — действительные числа, их квадраты неотрицательны: $n^2 \ge 0$ и $k^2 \ge 0$. Их сумма $n^2 + k^2 \ge 0$. Тогда правая часть $-(n^2 + k^2)$ является неположительным числом, то есть $-(n^2 + k^2) \le 0$.

Мы пришли к противоречию:
$y^2 = -(n^2 + k^2)$
(строго положительное число) = (неположительное число)

Это равенство невозможно. Единственный случай, когда оно могло бы быть верным, это если обе части равны нулю. Но это требует, чтобы $y^2 = 0$ (то есть $y=0$) и $n^2 + k^2 = 0$ (то есть $n=0$ и $k=0$). Однако, если $y=0$, то корень $x=iy=0$ является действительным числом, а не чисто мнимым, что противоречит нашему исходному предположению.

Следовательно, предположение о том, что корни могут быть чисто мнимыми, неверно.

Ответ: Нет, не могут.

Решить уравнение ($z$ — комплексное число) (824—828).

824. 1) $z^2 + 4z + 19 = 0$; 2) $z^2 - 2z + 3 = 0$.

1) $z^2 + 4z + 19 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $az^2 + bz + c = 0$ воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=4$, $c=19$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 16 - 76 = -60$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), корни уравнения являются комплексно-сопряженными числами. Найдем корень из дискриминанта, используя мнимую единицу $i$, где $i^2 = -1$:

$\sqrt{D} = \sqrt{-60} = \sqrt{60 \cdot (-1)} = \sqrt{4 \cdot 15} \cdot i = 2i\sqrt{15}$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{15}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-2 \pm i\sqrt{15})}{2} = -2 \pm i\sqrt{15}$

Таким образом, корни уравнения:

$z_1 = -2 + i\sqrt{15}$

$z_2 = -2 - i\sqrt{15}$

Ответ: $z = -2 \pm i\sqrt{15}$.

2) $z^2 - 2z + 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=1$, $b=-2$, $c=3$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Дискриминант отрицательный, следовательно, корни будут комплексными. Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{-8} = \sqrt{8 \cdot (-1)} = \sqrt{4 \cdot 2} \cdot i = 2i\sqrt{2}$

Найдем корни уравнения по формуле $z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$z_{1,2} = \frac{-(-2) \pm 2i\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = 1 \pm i\sqrt{2}$

Таким образом, корни уравнения:

$z_1 = 1 + i\sqrt{2}$

$z_2 = 1 - i\sqrt{2}$

Ответ: $z = 1 \pm i\sqrt{2}$.

825. 1) $z(2+i)-7=3i;$

2) $5i-z(3-2i)=-1.$

1)

Дано уравнение $z(2 + i) - 7 = 3i$.
Для того чтобы найти комплексное число $z$, сначала выразим член $z(2 + i)$. Перенесем $-7$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$z(2 + i) = 7 + 3i$
Теперь разделим обе части уравнения на $(2 + i)$:
$z = \frac{7 + 3i}{2 + i}$
Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $2 + i$ это $2 - i$:
$z = \frac{(7 + 3i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}$
Вычислим произведение в числителе:
$(7 + 3i)(2 - i) = 7 \cdot 2 - 7 \cdot i + 3i \cdot 2 - 3i \cdot i = 14 - 7i + 6i - 3i^2$
Зная, что $i^2 = -1$, получаем:
$14 - i - 3(-1) = 14 - i + 3 = 17 - i$
Вычислим произведение в знаменателе (используя формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$):
$(2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$
Подставим полученные значения обратно в выражение для $z$:
$z = \frac{17 - i}{5}$
Представим результат в алгебраической форме $a + bi$:
$z = \frac{17}{5} - \frac{1}{5}i$
Ответ: $z = \frac{17}{5} - \frac{1}{5}i$.

2)

Дано уравнение $5i - z(3 - 2i) = -1$.
Сначала изолируем член, содержащий $z$. Перенесем $5i$ в правую часть:
$-z(3 - 2i) = -1 - 5i$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы упростить выражение:
$z(3 - 2i) = 1 + 5i$
Теперь разделим обе части на $(3 - 2i)$, чтобы найти $z$:
$z = \frac{1 + 5i}{3 - 2i}$
Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $3 - 2i$ это $3 + 2i$:
$z = \frac{(1 + 5i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)}$
Вычислим произведение в числителе:
$(1 + 5i)(3 + 2i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2i + 5i \cdot 3 + 5i \cdot 2i = 3 + 2i + 15i + 10i^2$
Так как $i^2 = -1$:
$3 + 17i + 10(-1) = 3 + 17i - 10 = -7 + 17i$
Вычислим произведение в знаменателе:
$(3 - 2i)(3 + 2i) = 3^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2 = 9 - 4(-1) = 9 + 4 = 13$
Подставим полученные значения:
$z = \frac{-7 + 17i}{13}$
Представим результат в алгебраической форме $a + bi$:
$z = -\frac{7}{13} + \frac{17}{13}i$
Ответ: $z = -\frac{7}{13} + \frac{17}{13}i$.

826. 1) $|z|+iz=2-i;$

2) $|z|-iz=3+2i.$

1)

Для решения данного уравнения представим комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа. Модуль числа $z$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Подставим это представление в исходное уравнение $|z| + iz = 2 - i$:

$\sqrt{x^2 + y^2} + i(x + iy) = 2 - i$

Раскроем скобки в левой части, учитывая, что $i^2 = -1$:

$\sqrt{x^2 + y^2} + ix + i^2y = 2 - i$

$\sqrt{x^2 + y^2} + ix - y = 2 - i$

Теперь сгруппируем действительные и мнимые части в левой части уравнения:

$(\sqrt{x^2 + y^2} - y) + ix = 2 - i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Составим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} - y = 2 & \text{(равенство действительных частей)} \\ x = -1 & \text{(равенство мнимых частей)} \end{cases}$

Из второго уравнения мы сразу получаем значение $x = -1$. Подставим его в первое уравнение системы:

$\sqrt{(-1)^2 + y^2} - y = 2$

$\sqrt{1 + y^2} - y = 2$

Выразим корень:

$\sqrt{1 + y^2} = 2 + y$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат. При этом необходимо убедиться, что правая часть неотрицательна, то есть $2 + y \ge 0$, что означает $y \ge -2$.

$(\sqrt{1 + y^2})^2 = (2 + y)^2$

$1 + y^2 = 4 + 4y + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$1 = 4 + 4y$

$4y = 1 - 4$

$4y = -3$

$y = -\frac{3}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $y$ условию $y \ge -2$. Так как $-\frac{3}{4} = -0.75$, то $-0.75 \ge -2$. Условие выполняется, следовательно, решение корректно.

Мы нашли $x = -1$ и $y = -\frac{3}{4}$. Таким образом, искомое комплексное число:

$z = x + iy = -1 - \frac{3}{4}i$

Ответ: $z = -1 - \frac{3}{4}i$.

2)

Поступим аналогично первому пункту. Представим $z$ в виде $z = x + iy$, где $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Подставим это в уравнение $|z| - iz = 3 + 2i$:

$\sqrt{x^2 + y^2} - i(x + iy) = 3 + 2i$

Раскроем скобки, используя $i^2 = -1$:

$\sqrt{x^2 + y^2} - ix - i^2y = 3 + 2i$

$\sqrt{x^2 + y^2} - ix + y = 3 + 2i$

Сгруппируем действительные и мнимые части:

$(\sqrt{x^2 + y^2} + y) - ix = 3 + 2i$

Приравняем действительные и мнимые части левой и правой сторон уравнения:

$\begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} + y = 3 & \text{(равенство действительных частей)} \\ -x = 2 & \text{(равенство мнимых частей)} \end{cases}$

Из второго уравнения находим, что $x = -2$.

Подставим значение $x = -2$ в первое уравнение:

$\sqrt{(-2)^2 + y^2} + y = 3$

$\sqrt{4 + y^2} + y = 3$

Выразим корень:

$\sqrt{4 + y^2} = 3 - y$

Возведем обе части в квадрат. Это действие требует, чтобы правая часть была неотрицательной: $3 - y \ge 0$, то есть $y \le 3$.

$(\sqrt{4 + y^2})^2 = (3 - y)^2$

$4 + y^2 = 9 - 6y + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$4 = 9 - 6y$

$6y = 9 - 4$

$6y = 5$

$y = \frac{5}{6}$

Проверим выполнение условия $y \le 3$. Так как $\frac{5}{6}$ меньше 3, условие выполнено.

Мы нашли $x = -2$ и $y = \frac{5}{6}$. Следовательно, искомое комплексное число:

$z = x + iy = -2 + \frac{5}{6}i$

Ответ: $z = -2 + \frac{5}{6}i$.

827. 1) $z^2 + 3 = 0$;

2) $9z^2 = 125$;

3) $z^2 - 4z + 5 = 0$;

4) $z^2 - 8z + 41 = 0$.

1) Решим уравнение $z^2 + 3 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$z^2 = -3$
Извлечем квадратный корень из обеих частей. В множестве комплексных чисел корень из отрицательного числа определяется с помощью мнимой единицы $i$, где $i^2 = -1$.
$z = \pm\sqrt{-3}$
$z = \pm\sqrt{3 \cdot (-1)} = \pm\sqrt{3} \cdot \sqrt{-1} = \pm i\sqrt{3}$
Уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
Ответ: $z_{1,2} = \pm i\sqrt{3}$.

2) Решим уравнение $9z^2 = 125$.
Это неполное квадратное уравнение. Выразим $z^2$:
$z^2 = \frac{125}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$z = \pm\sqrt{\frac{125}{9}}$
Упростим полученное выражение:
$z = \pm\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{\sqrt{25 \cdot 5}}{3} = \pm\frac{5\sqrt{5}}{3}$
В данном случае уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $z_{1,2} = \pm\frac{5\sqrt{5}}{3}$.

3) Решим квадратное уравнение $z^2 - 4z + 5 = 0$.
Это полное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=5$.
Для нахождения корней воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней, но имеет два сопряженных комплексных корня.
Корни находятся по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot (-1)}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2}$
Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:
$z = \frac{4}{2} \pm \frac{2i}{2} = 2 \pm i$
Ответ: $z_1 = 2 + i, z_2 = 2 - i$.

4) Решим квадратное уравнение $z^2 - 8z + 41 = 0$.
Это полное квадратное уравнение вида $az^2 + bz + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-8$, $c=41$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 41 = 64 - 164 = -100$.
Дискриминант отрицательный, следовательно, корни уравнения являются комплексными.
Найдем корни по формуле $z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$z = \frac{-(-8) \pm \sqrt{-100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{100 \cdot (-1)}}{2} = \frac{8 \pm 10i}{2}$
Разделив почленно числитель на знаменатель, получим:
$z = \frac{8}{2} \pm \frac{10i}{2} = 4 \pm 5i$
Ответ: $z_1 = 4 + 5i, z_2 = 4 - 5i$.

828. 1) $z^2 - 25i = 0;$

2) $z^2 = -8 + 6i;$

3) $z^3 + 8 = 0;$

4) $z^4 - 1 = 0.$

1) $z^2 - 25i = 0$

Перепишем уравнение в виде $z^2 = 25i$. Для нахождения корней этого уравнения, представим искомое комплексное число $z$ в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x$ и $y$ — действительные числа.

Тогда его квадрат равен $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 + 2xyi + (iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части выражений $z^2$ и $25i$, получаем систему уравнений, так как $25i = 0 + 25i$:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 0 \\ 2xy = 25 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x^2 = y^2$, что эквивалентно $x = y$ или $x = -y$.

Рассмотрим второе уравнение: $2xy = 25$. Так как произведение $xy = 12.5$ является положительным числом, $x$ и $y$ должны иметь одинаковые знаки. Это означает, что случай $x = -y$ не подходит, и мы должны выбрать $x = y$.

Подставим $y = x$ во второе уравнение системы:

$2x(x) = 25 \implies 2x^2 = 25 \implies x^2 = \frac{25}{2}$.

Отсюда находим возможные значения для $x$: $x = \pm\sqrt{\frac{25}{2}} = \pm\frac{5}{\sqrt{2}} = \pm\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $y = x$, мы получаем два решения для $z$:

1. Если $x_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$, то и $y_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Первый корень: $z_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

2. Если $x_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$, то и $y_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Второй корень: $z_2 = -\frac{5\sqrt{2}}{2} - i\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $z_{1,2} = \pm \left( \frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{5\sqrt{2}}{2} \right)$.

2) $z^2 = -8 + 6i$

Пусть $z = x + iy$. Тогда $z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = -8 \\ 2xy = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{6}{2x} = \frac{3}{x}$. Заметим, что $x \neq 0$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - \left(\frac{3}{x}\right)^2 = -8$

$x^2 - \frac{9}{x^2} = -8$

Умножим обе части на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$x^4 - 9 = -8x^2$

$x^4 + 8x^2 - 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$. Так как $x$ — действительное число, $t \ge 0$.

$t^2 + 8t - 9 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -9$.

Корень $t_2 = -9$ не подходит, так как $t$ не может быть отрицательным.

Возвращаемся к $x$: $x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Находим соответствующие значения $y$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Первый корень: $z_1 = 1 + 3i$.

2. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = \frac{3}{-1} = -3$. Второй корень: $z_2 = -1 - 3i$.

Ответ: $z_1 = 1 + 3i$, $z_2 = -1 - 3i$.

3) $z^3 + 8 = 0$

Это уравнение можно решить, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

$z^3 + 2^3 = 0$

$(z+2)(z^2 - 2z + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

1. $z + 2 = 0 \implies z_1 = -2$.

2. $z^2 - 2z + 4 = 0$. Решаем это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.

Корни находим по формуле:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm i\sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$.

Таким образом, мы получили еще два корня: $z_2 = 1 + i\sqrt{3}$ и $z_3 = 1 - i\sqrt{3}$.

Ответ: $z_1 = -2$, $z_2 = 1 + i\sqrt{3}$, $z_3 = 1 - i\sqrt{3}$.

4) $z^4 - 1 = 0$

Это уравнение можно решить путем разложения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$z^4 - 1 = (z^2)^2 - 1^2 = (z^2 - 1)(z^2 + 1) = 0$.

Это уравнение распадается на два более простых:

1. $z^2 - 1 = 0 \implies z^2 = 1 \implies z = \pm\sqrt{1}$. Отсюда получаем два действительных корня: $z_1 = 1$ и $z_2 = -1$.

2. $z^2 + 1 = 0 \implies z^2 = -1 \implies z = \pm\sqrt{-1}$. Отсюда получаем два комплексных корня: $z_3 = i$ и $z_4 = -i$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $z_1 = 1$, $z_2 = -1$, $z_3 = i$, $z_4 = -i$.

829. Найти все целые числа, равные сумме квадратов своих цифр.

Пусть искомое целое число — $N$. По условию задачи, число $N$ должно быть равно сумме квадратов своих цифр. Сумма квадратов цифр любого целого числа является неотрицательной, поэтому $N \ge 0$.

Проверим число $N=0$. Сумма квадратов его цифр равна $0^2 = 0$. Так как $0=0$, число 0 является решением.

Теперь рассмотрим положительные целые числа $N > 0$. Пусть число $N$ состоит из $k+1$ цифры (где $k \ge 0$). Наименьшее положительное число, состоящее из $k+1$ цифры, это $10^k$. Таким образом, $N \ge 10^k$. Сумму квадратов цифр числа $N$ обозначим как $S(N)$. Каждая цифра не превышает 9, поэтому квадрат каждой цифры не превышает $9^2 = 81$. Для $(k+1)$-значного числа максимальная сумма квадратов цифр равна $(k+1) \times 9^2 = 81(k+1)$. Таким образом, $S(N) \le 81(k+1)$.

Поскольку по условию $N = S(N)$, должно выполняться неравенство: $10^k \le N = S(N) \le 81(k+1)$, что приводит к $10^k \le 81(k+1)$.

Проверим это неравенство для разных значений $k$:

• $k=0$ (1 цифра): $10^0 \le 81(0+1) \implies 1 \le 81$. Неравенство выполняется.
• $k=1$ (2 цифры): $10^1 \le 81(1+1) \implies 10 \le 162$. Неравенство выполняется.
• $k=2$ (3 цифры): $10^2 \le 81(2+1) \implies 100 \le 243$. Неравенство выполняется.
• $k=3$ (4 цифры): $10^3 \le 81(3+1) \implies 1000 \le 324$. Неравенство не выполняется.

Для всех $k \ge 3$ неравенство $10^k \le 81(k+1)$ не выполняется, поскольку показательная функция $10^k$ растет гораздо быстрее линейной $81(k+1)$. Это означает, что положительных решений среди чисел, состоящих из четырех и более цифр, не существует.

Следовательно, искомые положительные числа могут быть только однозначными, двузначными или трехзначными. Рассмотрим эти случаи.

Случай 1: Однозначные положительные числа.

Пусть $N = d_0$, где $d_0 \in \{1, ..., 9\}$. Уравнение по условию: $d_0 = d_0^2$. $d_0^2 - d_0 = 0 \implies d_0(d_0-1) = 0$. Так как $d_0 \neq 0$, единственным решением является $d_0 = 1$. Таким образом, число 1 является решением.

Случай 2: Двузначные числа.

Пусть $N = 10d_1 + d_0$, где $d_1 \in \{1, ..., 9\}$ и $d_0 \in \{0, ..., 9\}$. Уравнение по условию: $10d_1 + d_0 = d_1^2 + d_0^2$. Перегруппируем члены: $10d_1 - d_1^2 = d_0^2 - d_0$. Проанализируем возможные значения левой и правой частей. Множество значений левой части $f(d_1) = 10d_1 - d_1^2$ для $d_1 \in \{1, ..., 9\}$: $\{9, 16, 21, 24, 25\}$. Множество значений правой части $g(d_0) = d_0^2 - d_0$ для $d_0 \in \{0, ..., 9\}$: $\{0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72\}$. Эти множества не пересекаются. Следовательно, двузначных решений не существует.

Случай 3: Трехзначные числа.

Пусть $N = 100d_2 + 10d_1 + d_0$, где $d_2 \in \{1, ..., 9\}$ и $d_1, d_0 \in \{0, ..., 9\}$. Как было показано, если решение существует, оно должно быть в диапазоне $[100, 243]$. Это означает, что первая цифра $d_2$ может быть только 1 или 2.

Если $d_2 = 1$: Уравнение $100 + 10d_1 + d_0 = 1^2 + d_1^2 + d_0^2$ преобразуется к виду $d_0^2 - d_0 = 99 + 10d_1 - d_1^2$. Максимальное значение левой части равно $9^2 - 9 = 72$. Минимальное значение правой части равно $99 + 0 = 99$. Поскольку $72 < 99$, равенство невозможно.

Если $d_2 = 2$: Уравнение $200 + 10d_1 + d_0 = 2^2 + d_1^2 + d_0^2$ преобразуется к виду $d_0^2 - d_0 = 196 + 10d_1 - d_1^2$. Максимальное значение левой части равно 72. Минимальное значение правой части равно $196 + 0 = 196$. Поскольку $72 < 196$, равенство также невозможно. Следовательно, трехзначных решений не существует.

Объединяя все найденные решения, получаем, что единственными целыми числами, равными сумме квадратов своих цифр, являются 0 и 1.

Ответ: 0, 1.

830. Решить в целых числах уравнение:

1) $2x^2y^2 - 14y^2 = 25 - x^2$;

2) $3x^2 - 8xy - 16y^2 = 19$.

1) Решить в целых числах уравнение $2x^2y^2 - 14y^2 = 25 - x^2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы сгруппировать переменные:

$2x^2y^2 + x^2 - 14y^2 - 25 = 0$

Выполним группировку и разложим левую часть на множители. Вынесем $x^2$ из первых двух слагаемых и $-7$ из последних двух, добавив и вычтя необходимое число для получения общего множителя:

$x^2(2y^2 + 1) - 14y^2 - 7 + 7 - 25 = 0$

$x^2(2y^2 + 1) - 7(2y^2 + 1) - 18 = 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(2y^2 + 1)$:

$(x^2 - 7)(2y^2 + 1) = 18$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, выражения $(x^2 - 7)$ и $(2y^2 + 1)$ также должны быть целыми числами. Их произведение равно 18. Рассмотрим возможные значения множителей.

Так как $y$ — целое число, $y^2 \ge 0$. Следовательно, множитель $2y^2 + 1$ всегда будет положительным нечетным числом, не меньшим 1 (при $y=0$, $2y^2+1=1$; при $y=\pm1$, $2y^2+1=3$; при $y=\pm2$, $2y^2+1=9$ и т.д.).

Найдем все целые делители числа 18: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$.

Из них выберем те, которые могут быть равны $2y^2 + 1$, то есть положительные нечетные числа: 1, 3, 9.

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1: $2y^2 + 1 = 1$.

$2y^2 = 0 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$.

Тогда второй множитель $x^2 - 7$ должен быть равен $18/1 = 18$.

$x^2 - 7 = 18 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm5$.

Получаем две пары решений: $(5, 0)$ и $(-5, 0)$.

Случай 2: $2y^2 + 1 = 3$.

$2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm1$.

Тогда второй множитель $x^2 - 7$ должен быть равен $18/3 = 6$.

$x^2 - 7 = 6 \implies x^2 = 13$.

Число 13 не является квадратом целого числа, поэтому в этом случае целочисленных решений для $x$ нет.

Случай 3: $2y^2 + 1 = 9$.

$2y^2 = 8 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm2$.

Тогда второй множитель $x^2 - 7$ должен быть равен $18/9 = 2$.

$x^2 - 7 = 2 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm3$.

Получаем четыре пары решений: $(3, 2)$, $(3, -2)$, $(-3, 2)$ и $(-3, -2)$.

Других положительных нечетных делителей у числа 18 нет. Таким образом, мы нашли все целочисленные решения.

Ответ: $(5, 0), (-5, 0), (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2)$.

2) Решить в целых числах уравнение $3x^2 - 8xy - 16y^2 = 19$.

Левая часть уравнения представляет собой однородный многочлен второй степени. Попробуем разложить его на множители. Для этого решим квадратное уравнение $3x^2 - 8yx - 16y^2 = 0$ относительно переменной $x$:

Дискриминант $D = (-8y)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16y^2) = 64y^2 + 192y^2 = 256y^2 = (16y)^2$.

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{8y \pm \sqrt{(16y)^2}}{2 \cdot 3} = \frac{8y \pm 16y}{6}$

$x_1 = \frac{8y + 16y}{6} = \frac{24y}{6} = 4y$

$x_2 = \frac{8y - 16y}{6} = \frac{-8y}{6} = -\frac{4}{3}y$

Тогда левую часть можно разложить на множители:

$3(x - 4y)(x - (-\frac{4}{3}y)) = 3(x - 4y)(x + \frac{4}{3}y) = (x - 4y)(3x + 4y)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$(x - 4y)(3x + 4y) = 19$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - 4y)$ и $(3x + 4y)$ также являются целыми числами. Число 19 — простое, его целые делители: $1, -1, 19, -19$. Это приводит к четырем возможным системам уравнений.

Система 1:

$\begin{cases} x - 4y = 1 \\ 3x + 4y = 19 \end{cases}$

Сложим уравнения: $4x = 20 \implies x = 5$.

Подставим $x=5$ в первое уравнение: $5 - 4y = 1 \implies 4y = 4 \implies y = 1$.

Решение: $(5, 1)$.

Система 2:

$\begin{cases} x - 4y = 19 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases}$

Сложим уравнения: $4x = 20 \implies x = 5$.

Подставим $x=5$ в первое уравнение: $5 - 4y = 19 \implies -4y = 14 \implies y = -14/4 = -3.5$.

Это не целое число, поэтому данная система не имеет решений в целых числах.

Система 3:

$\begin{cases} x - 4y = -1 \\ 3x + 4y = -19 \end{cases}$

Сложим уравнения: $4x = -20 \implies x = -5$.

Подставим $x=-5$ в первое уравнение: $-5 - 4y = -1 \implies -4y = 4 \implies y = -1$.

Решение: $(-5, -1)$.

Система 4:

$\begin{cases} x - 4y = -19 \\ 3x + 4y = -1 \end{cases}$

Сложим уравнения: $4x = -20 \implies x = -5$.

Подставим $x=-5$ в первое уравнение: $-5 - 4y = -19 \implies -4y = -14 \implies y = 14/4 = 3.5$.

Это не целое число, поэтому данная система не имеет решений в целых числах.

Следовательно, уравнение имеет только две пары целочисленных решений.

Ответ: $(5, 1), (-5, -1)$.

831. Найти все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению.

Пусть искомые целые числа — это $x$ и $y$. По условию задачи, их сумма равна их произведению. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = xy$

Для нахождения целочисленных решений преобразуем это уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие переменные, в одну сторону:

$xy - x - y = 0$

Это уравнение можно решить методом разложения на множители. Для этого добавим 1 к обеим частям, чтобы можно было сгруппировать слагаемые:

$xy - x - y + 1 = 1$

Теперь разложим левую часть на множители:

$x(y - 1) - (y - 1) = 1$

$(x - 1)(y - 1) = 1$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух возможных случаях:

1. Оба множителя равны 1.
В этом случае имеем систему уравнений:
$\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y - 1 = 1 \end{cases}$
Решая систему, получаем $x = 2$ и $y = 2$. Это дает нам пару (2, 2).
Проверка: $2 + 2 = 4$ и $2 \cdot 2 = 4$.

2. Оба множителя равны –1.
В этом случае имеем систему уравнений:
$\begin{cases} x - 1 = -1 \\ y - 1 = -1 \end{cases}$
Решая систему, получаем $x = 0$ и $y = 0$. Это дает нам пару (0, 0).
Проверка: $0 + 0 = 0$ и $0 \cdot 0 = 0$.

Так как других целочисленных делителей у числа 1 нет, других решений в целых числах не существует.

Ответ: (0, 0) и (2, 2).

Решить уравнение (832—835).

832. 1) $\sqrt{2x+7} = x+2$; 2) $x=2-\sqrt{2x-5}$; 3) $\sqrt{x^4-3x-1} = x^2-1$.

1) $\sqrt{2x + 7} = x + 2$

Данное иррациональное уравнение имеет вид $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Такое уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением обеих частей в квадрат, и неравенства, требующего неотрицательности правой части:

$\begin{cases} 2x + 7 = (x + 2)^2 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство, чтобы определить область допустимых значений для корней:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Теперь решим уравнение:

$2x + 7 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 2x + 4 - 7 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -2$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge -2$.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < -2$. Следовательно, $x_2 = -3$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 1$.

Ответ: 1

2) $x = 2 - \sqrt{2x - 5}$

Для решения уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{2x - 5} = 2 - x$

Это уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$, которое равносильно системе:

$\begin{cases} 2x - 5 = (2 - x)^2 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases}$

Кроме того, должно выполняться условие существования корня (область допустимых значений):

$2x - 5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$.

Решим неравенство из системы:

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

Для существования решения необходимо, чтобы $x$ одновременно удовлетворял двум условиям: $x \ge 2.5$ и $x \le 2$. Эти два условия противоречат друг другу, так как нет числа, которое было бы одновременно больше или равно 2.5 и меньше или равно 2. Следовательно, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней.

Можно также решить уравнение и проверить корни. Возведем в квадрат:

$2x - 5 = (2 - x)^2$

$2x - 5 = 4 - 4x + x^2$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда $x = 3$. Однако этот корень не удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому он является посторонним.

Ответ: решений нет

3) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x^2 - 1 \ge 0 \implies (x - 1)(x + 1) \ge 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Теперь решим уравнение:

$x^4 - 3x - 1 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2$

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

Сократим $x^4$ в обеих частях и перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{4}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверим соответствие корней условию $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge 1$.

Корень $x_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < -0.5 < 1$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, единственным решением является $x=2$.

Ответ: 2

833. 1) $2\sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} = \sqrt{x+5};$

2) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-2x} = \sqrt{x^2-1}.$

Дано иррациональное уравнение: $2\sqrt{x+4} - \sqrt{1-x} = \sqrt{x+5}$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 1 \\ x \ge -5 \end{cases}$

Пересекая эти три условия, получаем ОДЗ: $x \in [-4, 1]$.

Перенесем слагаемое $-\sqrt{1-x}$ в правую часть уравнения, чтобы при возведении в квадрат было удобнее раскрывать скобки:

$2\sqrt{x+4} = \sqrt{x+5} + \sqrt{1-x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{x+5} + \sqrt{1-x})^2$

$4(x+4) = (x+5) + 2\sqrt{(x+5)(1-x)} + (1-x)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$4x + 16 = x + 5 + 1 - x + 2\sqrt{x - x^2 + 5 - 5x}$

$4x + 16 = 6 + 2\sqrt{-x^2 - 4x + 5}$

Уединим оставшийся радикал:

$4x + 10 = 2\sqrt{-x^2 - 4x + 5}$

Разделим обе части на 2:

$2x + 5 = \sqrt{-x^2 - 4x + 5}$

Так как правая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной. Добавим это условие:

$2x + 5 \ge 0 \implies 2x \ge -5 \implies x \ge -2.5$.

С учетом ОДЗ ($x \in [-4, 1]$), получаем новое, более узкое ограничение для корней: $x \in [-2.5, 1]$.

Теперь снова возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от последнего корня:

$(2x+5)^2 = (\sqrt{-x^2 - 4x + 5})^2$

$4x^2 + 20x + 25 = -x^2 - 4x + 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$5x^2 + 24x + 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \cdot 5 \cdot 20 = 576 - 400 = 176$

$\sqrt{D} = \sqrt{176} = \sqrt{16 \cdot 11} = 4\sqrt{11}$

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm 4\sqrt{11}}{10} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{11}}{5}$

Получаем два корня: $x_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{11}}{5}$ и $x_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{11}}{5}$.

Проверим, принадлежат ли эти корни промежутку $x \in [-2.5, 1]$.

Для $x_1 = \frac{-12 + 2\sqrt{11}}{5}$: так как $3 < \sqrt{11} < 4$, то $6 < 2\sqrt{11} < 8$.
$-12+6 < -12+2\sqrt{11} < -12+8 \implies -6 < -12+2\sqrt{11} < -4$.
$\frac{-6}{5} < \frac{-12+2\sqrt{11}}{5} < \frac{-4}{5} \implies -1.2 < x_1 < -0.8$. Этот корень входит в промежуток $[-2.5, 1]$, значит, он является решением.

Для $x_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{11}}{5}$: так как $2\sqrt{11} > 6$, то $-12 - 2\sqrt{11} < -18$.
$x_2 = \frac{-12 - 2\sqrt{11}}{5} < \frac{-18}{5} = -3.6$. Этот корень не входит в промежуток $[-2.5, 1]$, следовательно, является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = \frac{-12 + 2\sqrt{11}}{5}$.

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-2x} = \sqrt{x^2-1}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3-2x \ge 0 \\ x^2-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ 2x \le 3 \\ (x-1)(x+1) \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 1.5 \\ x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-2, -1] \cup [1, 1.5]$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} + \sqrt{3-2x})^2 = (\sqrt{x^2-1})^2$

$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(3-2x)} + (3-2x) = x^2-1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5-x + 2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2-1$

Уединим радикал в левой части:

$2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2 - 1 - (5-x)$

$2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2 + x - 6$

Левая часть этого уравнения ($2\sqrt{\dots}$) по определению арифметического корня всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$x^2 + x - 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=-3$ и $x_2=2$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого множества с ОДЗ: $x \in ([-2, -1] \cup [1, 1.5]) \cap ((-\infty, -3] \cup [2, \infty))$.

Проанализируем пересечение:

• Интервал $[-2, -1]$ не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
• Интервал $[1, 1.5]$ также не имеет общих точек с множеством $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.

Пересечение этих множеств пусто. Это означает, что не существует таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяли бы и ОДЗ, и условию неотрицательности правой части $x^2 + x - 6$.

Для любого $x$ из ОДЗ левая часть уравнения $2\sqrt{-2x^2 - x + 6} = x^2 + x - 6$ неотрицательна, а правая часть $x^2 + x - 6$ строго отрицательна (поскольку все значения из ОДЗ лежат между корнями -3 и 2). Равенство было бы возможно только если обе части равны нулю, но корни уравнений $2\sqrt{-2x^2 - x + 6}=0$ (это $x=-2$ и $x=1.5$) и $x^2 + x - 6=0$ (это $x=-3$ и $x=2$) не совпадают. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

834. 1) $ \sqrt[3]{x^6 - 26} + 2\sqrt[6]{x^6 - 26} = 3 $

2) $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} = 0 $

1) $\sqrt[3]{x^6 - 26} + 2\sqrt[6]{x^6 - 26} = 3$

Данное уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что $\sqrt[3]{x^6 - 26} = (\sqrt[6]{x^6 - 26})^2$.

Пусть $y = \sqrt[6]{x^6 - 26}$. Поскольку корень шестой степени (четной степени) из действительного числа должен быть неотрицательным, то $y \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 + 2y = 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Корнями являются $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к условию $y \ge 0$. Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $y_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x^6 - 26} = 1$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$(\sqrt[6]{x^6 - 26})^6 = 1^6$

$x^6 - 26 = 1$

$x^6 = 27$

Теперь найдем $x$:

$x = \pm \sqrt[6]{27}$

Упростим корень: $\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.

Таким образом, получаем два решения: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.

Проверим область допустимых значений. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x^6 - 26 \ge 0$. Для найденных корней $x^6 = 27$, что удовлетворяет условию $27 \ge 26$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{3}$.

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} = 0$

Перенесем один из членов в правую часть уравнения:

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1} = -\sqrt[3]{x+2}$

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:

$(\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{x+1})^3 + 3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x+1}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1}) = -(\sqrt[3]{x+2})^3$

$x + (x+1) + 3\sqrt[3]{x(x+1)}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1}) = -(x+2)$

Заметим, что выражение в скобках $(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1})$ равно правой части исходного преобразованного уравнения, то есть $-\sqrt[3]{x+2}$. Сделаем подстановку:

$2x + 1 + 3\sqrt[3]{x(x+1)}(-\sqrt[3]{x+2}) = -x - 2$

$2x + 1 - 3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = -x - 2$

Уединим радикал:

$3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = 2x + 1 + x + 2$

$3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = 3x + 3$

Разделим обе части на 3:

$\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = x + 1$

Снова возведем обе части в куб:

$x(x+1)(x+2) = (x+1)^3$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)^3 - x(x+1)(x+2) = 0$

$(x+1)[(x+1)^2 - x(x+2)] = 0$

$(x+1)[(x^2 + 2x + 1) - (x^2 + 2x)] = 0$

$(x+1)(1) = 0$

Отсюда получаем единственное возможное решение: $x + 1 = 0$, то есть $x = -1$.

Поскольку мы возводили уравнение в степень, необходимо выполнить проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{-1+1} + \sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{1} = -1 + 0 + 1 = 0$.

$0 = 0$.

Равенство верное, следовательно, $x=-1$ является корнем уравнения.

Ответ: $x = -1$.

835. 1) $\sqrt{x^2 - 6x + 9} + \sqrt{25 + 10x + x^2} = 8;$

2) $\sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 5;$

3) $\sqrt[3]{(8 - x)^2} - \sqrt[3]{(8 - x)(27 + x)} + \sqrt[3]{(27 + x)^2} = 7;$

4) $\sqrt[4]{8 - x} - \sqrt[4]{89 + x} = 5.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 6x + 9} + \sqrt{25 + 10x + x^2} = 8$. Заметим, что выражения под знаками корня являются полными квадратами: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ и $25 + 10x + x^2 = (x + 5)^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде: $\sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{(x + 5)^2} = 8$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем уравнение с модулями: $|x - 3| + |x + 5| = 8$. Для решения этого уравнения рассмотрим три случая, раскрывая модули на интервалах, которые определяются нулями подмодульных выражений: $x = 3$ и $x = -5$.
Случай 1: $x < -5$. Оба выражения, $(x-3)$ и $(x+5)$, отрицательны. Раскрываем модули со знаком минус: $-(x - 3) - (x + 5) = 8$ $-x + 3 - x - 5 = 8$ $-2x - 2 = 8$ $-2x = 10$ $x = -5$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -5$, поэтому в этом интервале решений нет.
Случай 2: $-5 \le x < 3$. Выражение $(x-3)$ отрицательно, а $(x+5)$ неотрицательно. $-(x - 3) + (x + 5) = 8$ $-x + 3 + x + 5 = 8$ $8 = 8$. Это тождество, которое верно для всех значений $x$ из данного промежутка. Следовательно, весь интервал $[-5, 3)$ является решением.
Случай 3: $x \ge 3$. Оба выражения, $(x-3)$ и $(x+5)$, неотрицательны. Раскрываем модули со знаком плюс: $(x - 3) + (x + 5) = 8$ $2x + 2 = 8$ $2x = 6$ $x = 3$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 3$.
Объединяя решения из всех случаев, получаем, что решением уравнения является отрезок от -5 до 3, включая концы.
Ответ: $x \in [-5, 3]$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 5$. Выражения под корнями являются полными квадратами: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ и $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{(x + 2)^2} - \sqrt{(x - 3)^2} = 5$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|x + 2| - |x - 3| = 5$. Рассмотрим случаи, раскрывая модули на интервалах, определяемых точками $x = -2$ и $x = 3$.
Случай 1: $x < -2$. Оба выражения под модулями отрицательны. $-(x + 2) - (-(x - 3)) = 5$ $-x - 2 + x - 3 = 5$ $-5 = 5$. Это неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.
Случай 2: $-2 \le x < 3$. Выражение $(x+2)$ неотрицательно, а $(x-3)$ отрицательно. $(x + 2) - (-(x - 3)) = 5$ $x + 2 + x - 3 = 5$ $2x - 1 = 5$ $2x = 6$ $x = 3$. Это значение не входит в рассматриваемый интервал $[-2, 3)$.
Случай 3: $x \ge 3$. Оба выражения под модулями неотрицательны. $(x + 2) - (x - 3) = 5$ $x + 2 - x + 3 = 5$ $5 = 5$. Это тождество, верное для всех $x$ из данного промежутка. Следовательно, все $x \ge 3$ являются решениями.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

3) Дано уравнение: $\sqrt[3]{(8 - x)^2} - \sqrt[3]{(8 - x)(27 + x)} + \sqrt[3]{(27 + x)^2} = 7$. Введем замены: $a = \sqrt[3]{8 - x}$ и $b = \sqrt[3]{27 + x}$. Тогда уравнение принимает вид: $a^2 - ab + b^2 = 7$. Это выражение является неполным квадратом разности и входит в формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Найдем сумму кубов наших переменных $a$ и $b$: $a^3 = (\sqrt[3]{8 - x})^3 = 8 - x$ $b^3 = (\sqrt[3]{27 + x})^3 = 27 + x$ $a^3 + b^3 = (8 - x) + (27 + x) = 35$. Подставим известные значения в формулу суммы кубов: $35 = (a + b) \cdot 7$. Отсюда находим, что $a + b = \frac{35}{7} = 5$. Теперь у нас есть система из двух уравнений: $a+b=5$ и $ab$, которое можно найти из $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Или проще, вернемся к исходным переменным, имея новое, более простое уравнение: $\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{27 + x} = 5$. Возведем обе части этого уравнения в куб: $(\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{27 + x})^3 = 5^3$. Используем формулу $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$: $(8-x) + (27+x) + 3\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}(\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x}) = 125$. Мы уже знаем, что $(8-x)+(27+x)=35$ и $\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x}=5$. Подставляем эти значения в уравнение: $35 + 3\sqrt[3]{(8-x)(27+x)} \cdot 5 = 125$ $15\sqrt[3]{(8-x)(27+x)} = 90$ $\sqrt[3]{(8-x)(27+x)} = 6$. Возводим обе части в куб: $(8-x)(27+x) = 6^3 = 216$. $216 + 8x - 27x - x^2 = 216$. $-x^2 - 19x = 0$. $-x(x+19) = 0$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$, $x_2 = -19$.
Ответ: $x_1 = -19, x_2 = 0$.

4) Дано уравнение: $\sqrt[4]{8 - x} - \sqrt[4]{89 + x} = 5$. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{8 - x} - \sqrt[4]{89 + x}$. Нам нужно решить уравнение $f(x)=5$. Найдем область определения функции. Для этого подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} 8 - x \ge 0 \\ 89 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -89 \end{cases}$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [-89, 8]$. Исследуем функцию на монотонность. Найдем ее производную: $f'(x) = (\sqrt[4]{8 - x})' - (\sqrt[4]{89 + x})' = \frac{1}{4}(8-x)^{-3/4}(-1) - \frac{1}{4}(89+x)^{-3/4}(1)$. $f'(x) = -\frac{1}{4\sqrt[4]{(8-x)^3}} - \frac{1}{4\sqrt[4]{(89+x)^3}}$. Внутри области определения $(-89, 8)$ оба знаменателя положительны, поэтому оба слагаемых в выражении для производной отрицательны. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x \in (-89, 8)$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на ее области определения. Поскольку функция строго убывает, свое наибольшее значение она принимает в левой крайней точке ($x=-89$), а наименьшее — в правой ($x=8$). Наибольшее значение: $f(-89) = \sqrt[4]{8 - (-89)} - \sqrt[4]{89 + (-89)} = \sqrt[4]{97} - \sqrt[4]{0} = \sqrt[4]{97}$. Наименьшее значение: $f(8) = \sqrt[4]{8 - 8} - \sqrt[4]{89 + 8} = \sqrt[4]{0} - \sqrt[4]{97} = -\sqrt[4]{97}$. Множество значений функции $E(f) = [-\sqrt[4]{97}, \sqrt[4]{97}]$. Мы решаем уравнение $f(x) = 5$. Решение существует, только если $5$ принадлежит множеству значений функции, то есть если $-\sqrt[4]{97} \le 5 \le \sqrt[4]{97}$. Проверим неравенство $5 \le \sqrt[4]{97}$. Возведем обе части в четвертую степень: $5^4 \le 97$ $625 \le 97$. Это неравенство является ложным. Так как число 5 больше, чем наибольшее возможное значение функции $f(x)$, то уравнение $f(x)=5$ не может иметь решений.
Ответ: корней нет.