Страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

910. 1) $\log_6(2 - x) < \log_6(2x + 5)$;

2) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2) \ge -1$.

1) Дано логарифмическое неравенство $\log_6(2-x) < \log_6(2x+5)$.
Для решения в первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2-x > 0 \\ 2x+5 > 0 \end{cases}$
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} -x > -2 \\ 2x > -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -2.5 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2.5; 2)$.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Основание логарифма равно 6, что больше 1. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_6(t)$ является возрастающей. Это означает, что для аргументов логарифмов сохраняется тот же знак неравенства, что и для самих логарифмов:
$2 - x < 2x + 5$
Решим полученное линейное неравенство:
$2 - 5 < 2x + x$
$-3 < 3x$
$x > -1$

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение найденного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x > -1 \\ -2.5 < x < 2 \end{cases}$
Общим решением является интервал $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-1; 2)$.

2) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2) \ge -1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы выражение под знаком логарифма было положительным:
$x^2 - 2 > 0$
$x^2 > 2$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:
$-1 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{\frac{1}{2}}(2)$
Неравенство примет вид:
$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2) \ge \log_{\frac{1}{2}}(2)$
Основание логарифма равно $\frac{1}{2}$, что меньше 1. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(t)$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 2 \le 2$
$x^2 - 4 \le 0$
$(x - 2)(x + 2) \le 0$
Решением этого квадратного неравенства является отрезок $x \in [-2; 2]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in [-2; 2] \\ x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \infty) \end{cases}$
На числовой оси это пересечение соответствует объединению промежутков $[-2; -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; 2]$.

911. 1) $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$;

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + 2.

1) $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$

Для решения данного неравенства сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $x > 0$.
Во-вторых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\lg x \ge 0$.
Поскольку основание десятичного логарифма равно 10 (что больше 1), неравенство $\lg x \ge 0$ эквивалентно неравенству $x \ge 10^0$, то есть $x \ge 1$.
Объединяя условия $x > 0$ и $x \ge 1$, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Так как обе части неравенства $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\sqrt{\lg x})^2 < (\frac{1}{2})^2$
$\lg x < \frac{1}{4}$

Теперь решим полученное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма 10 > 1, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, при потенцировании (переходе от логарифмов к их аргументам) знак неравенства сохраняется:

$x < 10^{\frac{1}{4}}$
$x < \sqrt[4]{10}$

Наконец, найдем пересечение полученного решения с областью допустимых значений:

$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ x < \sqrt[4]{10} \end{array} \right.$

Следовательно, решение неравенства представляет собой промежуток от 1 (включительно) до $\sqrt[4]{10}$ (не включая).

Ответ: $[1; \sqrt[4]{10})$.

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ 2x+6 > 0 \end{array} \right.$

Решаем второе неравенство системы: $2x > -6$, что дает $x > -3$.
Пересечением двух условий ($x > 0$ и $x > -3$) является $x > 0$. Итак, ОДЗ: $x > 0$.

Теперь преобразуем исходное неравенство. Для этого представим число 2 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:

$2 = 2 \cdot \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^2) = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4})$

Подставим это выражение в неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4})$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, получаем:

$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}((2x+6) \cdot \frac{1}{4})$
$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(\frac{2x+6}{4})$
$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(\frac{x+3}{2})$

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 (но больше 0), логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x > \frac{x+3}{2}$

Решим полученное линейное неравенство. Умножим обе части на 2:

$2x > x+3$
$2x - x > 3$
$x > 3$

Теперь необходимо соотнести полученное решение с ОДЗ ($x > 0$):

$\left\{ \begin{array}{l} x > 3 \\ x > 0 \end{array} \right.$

Пересечением этих двух условий является $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$.

912. 1) $\log_{0.5}(1 + 2x) > -1;$

2) $\log_{3}(1 - 2x) < -1.$

1) Решим неравенство $\log_{0,5}(1 + 2x) > -1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 + 2x > 0$

$2x > -1$

$x > -0,5$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-0,5; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5:

$-1 = \log_{0,5}(0,5^{-1}) = \log_{0,5}(2)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{0,5}(1 + 2x) > \log_{0,5}(2)$

Так как основание логарифма $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$1 + 2x < 2$

$2x < 2 - 1$

$2x < 1$

$x < 0,5$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение интервалов $x > -0,5$ и $x < 0,5$.

Это можно записать в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x > -0,5 \\ x < 0,5 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(-0,5; 0,5)$.

Ответ: $(-0,5; 0,5)$.

2) Решим неравенство $\log_{3}(1 - 2x) < -1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$1 - 2x > 0$

$1 > 2x$

$x < \frac{1}{2}$ или $x < 0,5$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0,5)$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$-1 = \log_{3}(3^{-1}) = \log_{3}(\frac{1}{3})$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{3}(1 - 2x) < \log_{3}(\frac{1}{3})$

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$1 - 2x < \frac{1}{3}$

$1 - \frac{1}{3} < 2x$

$\frac{2}{3} < 2x$

Разделим обе части на 2:

$\frac{1}{3} < x$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Найдем пересечение условий $x < 0,5$ и $x > \frac{1}{3}$.

Запишем в виде системы:

$\begin{cases} x < 0,5 \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$

Решением системы является интервал $(\frac{1}{3}; 0,5)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 0,5)$.

913. 1) $\log_{0.5}(x^2 - 5x + 6) > -1;$

2) $\log_{8}(x^2 - 4x + 3) \le 1.$

1) $\log_{0,5}(x^2 - 5x + 6) > -1$

Решение этого логарифмического неравенства состоит из двух шагов: нахождение области допустимых значений (ОДЗ) и решение самого неравенства с учетом ОДЗ.

Шаг 1: Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x^2 - 5x + 6 > 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Парабола $y = x^2 - 5x + 6$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Шаг 2: Решим основное неравенство.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,5: $-1 = \log_{0,5}(0,5^{-1}) = \log_{0,5}(2)$.
Теперь неравенство имеет вид: $\log_{0,5}(x^2 - 5x + 6) > \log_{0,5}(2)$
Так как основание логарифма $a = 0,5$ и $0 < 0,5 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный: $x^2 - 5x + 6 < 2$
$x^2 - 5x + 4 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Решение этого неравенства: $x \in (1; 4)$.

Шаг 3: Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ.
Мы должны найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \in (1; 4)$ и $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.
Пересечением этих множеств являются интервалы $(1; 2)$ и $(3; 4)$.

Ответ: $x \in (1; 2) \cup (3; 4)$.

2) $\log_{8}(x^2 - 4x + 3) \le 1$

Данное логарифмическое неравенство равносильно системе двух неравенств.

1. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным (ОДЗ): $x^2 - 4x + 3 > 0$

2. Основное неравенство. Представим 1 как логарифм с основанием 8: $1 = \log_8(8)$.
Неравенство принимает вид: $\log_8(x^2 - 4x + 3) \le \log_8(8)$
Так как основание логарифма $a = 8 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется: $x^2 - 4x + 3 \le 8$

Объединим оба условия в систему: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \le 8 \end{cases} $$ Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < x^2 - 4x + 3 \le 8$.

Решим первое неравенство: $x^2 - 4x + 3 > 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 \le 8$.
$x^2 - 4x - 5 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. Парабола ветвями вверх, значит, решение: $x \in [-1; 5]$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty; 1) \cup (3; \infty)) \cap [-1; 5]$.
Пересекая интервал $[-1; 5]$ с $(-\infty; 1)$, получаем $[-1; 1)$.
Пересекая интервал $[-1; 5]$ с $(3; \infty)$, получаем $(3; 5]$.
Объединяя эти два результата, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-1; 1) \cup (3; 5]$.

914. 1) $ \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3x+1}{x-1}\right)\right) \le 0; $

2) $ \log_{\frac{1}{3}}\left(\log_4(x^2-5)\right) > 0. $

1) $\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1}\right) \le 0$

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо рассмотреть его поэтапно, начиная с внешнего логарифма. Исходное неравенство имеет вид $\log_a f(x) \le 0$, где основание $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Кроме того, аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующей системе:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^0 \end{cases} \implies \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \ge 1$

Мы получили новое логарифмическое неравенство. Снова, основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, поэтому при потенцировании мы меняем знак неравенства. Также необходимо учесть область определения этого логарифма.

Неравенство $\log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \ge 1$ равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0 \\ \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \le \left(\frac{1}{2}\right)^1 \end{cases} \iff \begin{cases} \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0 \\ \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \le \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

Первое неравенство: $\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0$. Найдём нули числителя и знаменателя: $3x+1=0 \implies x = -1/3$; $\frac{1}{2}x-1=0 \implies x = 2$. Применим метод интервалов. На числовой оси отмечаем точки $-1/3$ и $2$. Интервалы: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 2)$, $(2, +\infty)$. Определяем знаки выражения на интервалах: `+`, `-`, `+`. Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2, +\infty)$.

Второе неравенство: $\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \le \frac{1}{2}$. Перенесём все члены в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} - \frac{1}{2} \le 0$

$\frac{2(3x+1) - (\frac{1}{2}x-1)}{2(\frac{1}{2}x-1)} \le 0$

$\frac{6x+2 - \frac{1}{2}x + 1}{x-2} \le 0$

$\frac{\frac{11}{2}x + 3}{x-2} \le 0 \iff \frac{11x+6}{2(x-2)} \le 0$

Найдём нули числителя и знаменателя: $11x+6=0 \implies x = -6/11$; $x-2=0 \implies x = 2$. Применим метод интервалов. На числовой оси отмечаем точки $-6/11$ (включительно) и $2$ (исключительно). Интервалы: $(-\infty, -6/11]$, $[-6/11, 2)$, $(2, +\infty)$. Определяем знаки выражения на интервалах: `+`, `-`, `+`. Решением является интервал, где выражение отрицательно или равно нулю: $x \in [-6/11, 2)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty, -1/3) \cup (2, +\infty)) \cap [-6/11, 2)$. Сравнивая значения $-6/11 \approx -0.545$ и $-1/3 \approx -0.333$, видим, что $-6/11 < -1/3$. Пересечение множеств даёт интервал $[-6/11, -1/3)$.

Ответ: $x \in [-6/11, -1/3)$.

2) $\log_{\frac{1}{3}}(\log_4(x^2 - 5)) > 0$

Это также неравенство с вложенными логарифмами. Начнём с внешнего логарифма. Основание внешнего логарифма $a = \frac{1}{3}$ меньше 1, следовательно, функция убывающая. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Также аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Исходное неравенство равносильно двойному неравенству:

$0 < \log_4(x^2 - 5) < \left(\frac{1}{3}\right)^0$

$0 < \log_4(x^2 - 5) < 1$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:

$\begin{cases} \log_4(x^2 - 5) > 0 \\ \log_4(x^2 - 5) < 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство. Основание внутреннего логарифма $a=4$ больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства при потенцировании сохраняется.

Решаем первое неравенство: $\log_4(x^2 - 5) > 0$. Это неравенство также обеспечивает выполнение условия области определения $x^2-5>0$.

$x^2 - 5 > 4^0$

$x^2 - 5 > 1$

$x^2 > 6$

$|x| > \sqrt{6} \implies x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)$.

Решаем второе неравенство: $\log_4(x^2 - 5) < 1$.

$x^2 - 5 < 4^1$

$x^2 - 5 < 4$

$x^2 < 9$

$|x| < 3 \implies x \in (-3, 3)$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств:

$x \in ((-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)) \cap (-3, 3)$.

Это соответствует условию $\sqrt{6} < |x| < 3$. Решением этого двойного неравенства для модуля является объединение двух интервалов:

$x \in (-3, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3)$.

Ответ: $x \in (-3, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3)$.

915. $\log_4 x^2 + \log_2^2(-x) > 6$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы логарифмические выражения были определены, их аргументы должны быть строго положительными. Это приводит к системе из двух неравенств:

$ \begin{cases} x^2 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства $ x^2 > 0 $ следует, что $ x \neq 0 $. Из второго неравенства $ -x > 0 $ следует, что $ x < 0 $. Объединяя эти два условия, получаем область допустимых значений: $ x < 0 $.

2. Преобразование неравенства

Цель — привести все логарифмы к одному основанию, в данном случае к основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию $ \log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b $ и свойство логарифма четной степени $ \log_a(f(x)^2) = 2\log_a|f(x)| $.

$ \log_4{x^2} = \log_{2^2}{x^2} = \frac{1}{2}\log_2{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 2\log_2|x| = \log_2|x| $.

Так как согласно ОДЗ $ x < 0 $, то модуль $ |x| $ раскрывается как $ -x $. Таким образом, мы получаем:

$ \log_4{x^2} = \log_2(-x) $.

Подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:

$ \log_2(-x) + \log_2^2(-x) > 6 $.

3. Решение неравенства методом замены

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $ t = \log_2(-x) $. Неравенство принимает следующий вид:

$ t + t^2 > 6 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$ t^2 + t - 6 > 0 $.

Найдем корни соответствующего уравнения $ t^2 + t - 6 = 0 $. С помощью теоремы Виета или дискриминанта находим, что корнями являются $ t_1 = -3 $ и $ t_2 = 2 $.

Парабола $ y = t^2 + t - 6 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ > 0 $ выполняется, когда $ t $ находится вне интервала между корнями. То есть, когда $ t < -3 $ или $ t > 2 $.

4. Выполнение обратной замены и нахождение x

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $ x $, решив совокупность двух неравенств:

1) $ \log_2(-x) < -3 $.

Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, знак неравенства при потенцировании не меняется:

$ -x < 2^{-3} \implies -x < \frac{1}{8} \implies x > -\frac{1}{8} $.

2) $ \log_2(-x) > 2 $.

Аналогично потенцируем:

$ -x > 2^2 \implies -x > 4 \implies x < -4 $.

5. Объединение решений с ОДЗ

На последнем шаге необходимо сопоставить найденные решения с областью допустимых значений $ x < 0 $.

Первое решение $ x > -\frac{1}{8} $ в пересечении с ОДЗ дает интервал $ (-\frac{1}{8}; 0) $.

Второе решение $ x < -4 $ уже полностью удовлетворяет условию ОДЗ.

Итоговое решение является объединением этих двух множеств.

Ответ: $ x \in (-\infty; -4) \cup (-\frac{1}{8}; 0) $.

916. 1) $log_{\frac{1}{2}}\left(1 + x - \sqrt{x^2 - 4}\right) \le 0;$

2) $\frac{1}{\log_5(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_5(3 - 2x)} < 0.$

1) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(1 + x - \sqrt{x^2 - 4}) \le 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 4 \ge 0$
$(x - 2)(x + 2) \ge 0$
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$1 + x - \sqrt{x^2 - 4} > 0$
$1 + x > \sqrt{x^2 - 4}$
Левая часть неравенства должна быть положительной (так как правая часть неотрицательна), поэтому $1 + x > 0$, то есть $x > -1$. С учетом первого условия ($x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$), получаем, что $x \ge 2$. При этом условии обе части неравенства $1 + x > \sqrt{x^2 - 4}$ положительны, и мы можем возвести их в квадрат:
$(1 + x)^2 > x^2 - 4$
$1 + 2x + x^2 > x^2 - 4$
$2x > -5$
$x > -2.5$
Пересекая все условия ОДЗ ($x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, $x > -1$ и $x > -2.5$), получаем итоговую ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

Теперь решим исходное неравенство. Представим 0 как логарифм с основанием $\frac{1}{2}$:
$\log_{\frac{1}{2}}(1 + x - \sqrt{x^2 - 4}) \le \log_{\frac{1}{2}}(1)$

Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$1 + x - \sqrt{x^2 - 4} \ge 1$
$x - \sqrt{x^2 - 4} \ge 0$
$x \ge \sqrt{x^2 - 4}$

Мы решаем это неравенство с учетом ОДЗ, где $x \ge 2$. При таких $x$ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$x^2 \ge x^2 - 4$
$0 \ge -4$
Это неравенство верно для любого $x$. Следовательно, решением является любое значение $x$, для которого неравенство $x \ge \sqrt{x^2 - 4}$ имеет смысл. Это $x \ge 2$.

Пересекая полученное решение $x \ge 2$ с ОДЗ ($x \in [2, \infty)$), получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [2, \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{1}{\log_5(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_5(3 - 2x)} < 0$.

Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $3 - 2x > 0 \implies 2x < 3 \implies x < 1.5$.
2. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$\log_5(3 - 2x) \ne 0 \implies 3 - 2x \ne 5^0 = 1 \implies 2x \ne 2 \implies x \ne 1$.
$4 - \log_5(3 - 2x) \ne 0 \implies \log_5(3 - 2x) \ne 4 \implies 3 - 2x \ne 5^4 = 625 \implies -2x \ne 622 \implies x \ne -311$.
Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty, -311) \cup (-311, 1) \cup (1, 1.5)$.

Для упрощения неравенства сделаем замену $t = \log_5(3 - 2x)$. Неравенство примет вид:
$\frac{1}{t} - \frac{1}{4 - t} < 0$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{4 - t - t}{t(4 - t)} < 0$
$\frac{4 - 2t}{t(4 - t)} < 0$
$\frac{2(2 - t)}{t(4 - t)} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов для переменной $t$. Корни числителя и знаменателя: $t=2$, $t=0$, $t=4$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знаки выражения на этих интервалах:
- при $t > 4$: $\frac{(-)}{(+)(-)} > 0$
- при $2 < t < 4$: $\frac{(-)}{(+)(+)} < 0$ (подходит)
- при $0 < t < 2$: $\frac{(+)}{(+)(+)} > 0$
- при $t < 0$: $\frac{(+)}{(-)(+)} < 0$ (подходит)
Таким образом, решение для $t$: $t \in (-\infty, 0) \cup (2, 4)$.

Вернемся к переменной $x$. Получаем два случая:
1) $\log_5(3 - 2x) < 0$
Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$3 - 2x < 5^0$
$3 - 2x < 1$
$-2x < -2$
$x > 1$

2) $2 < \log_5(3 - 2x) < 4$
$5^2 < 3 - 2x < 5^4$
$25 < 3 - 2x < 625$
$22 < -2x < 622$
Делим на -2 и меняем знаки неравенства:
$-11 > x > -311$
$x \in (-311, -11)$

Объединяя решения из двух случаев, получаем: $x \in (-311, -11) \cup (1, \infty)$.

Теперь пересечем это решение с ОДЗ: $x \in (-\infty, -311) \cup (-311, 1) \cup (1, 1.5)$.
- Пересечение $(-311, -11)$ с ОДЗ дает $(-311, -11)$.
- Пересечение $(1, \infty)$ с ОДЗ дает $(1, 1.5)$.

Ответ: $x \in (-311, -11) \cup (1, 1.5)$.

917. 1) $\log_{|2x+1|}x^2 \ge 2;$

2) $\log_{x^2}|3x+1| < \frac{1}{2}.$

1) $\log_{|2x+1|}x^2 \ge 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2 > 0$, что означает $x \ne 0$.
Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.
$|2x+1| > 0 \implies 2x+1 \ne 0 \implies x \ne -1/2$.
$|2x+1| \ne 1 \implies 2x+1 \ne 1$ и $2x+1 \ne -1$.
Из $2x+1 \ne 1$ следует $2x \ne 0$, то есть $x \ne 0$.
Из $2x+1 \ne -1$ следует $2x \ne -2$, то есть $x \ne -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -1/2) \cup (-1/2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a |b|$ для четного $c$, преобразуем неравенство:
$2\log_{|2x+1|}|x| \ge 2$
$\log_{|2x+1|}|x| \ge 1$
Представим 1 как логарифм по тому же основанию: $\log_{|2x+1|}|x| \ge \log_{|2x+1|}|2x+1|$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.

Случай 1: Основание больше 1.
$|2x+1| > 1$. Это равносильно совокупности неравенств:
$2x+1 > 1 \implies 2x > 0 \implies x > 0$
или
$2x+1 < -1 \implies 2x < -2 \implies x < -1$
Таким образом, этот случай рассматривается при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.
В этом случае знак неравенства сохраняется:
$|x| \ge |2x+1|$
Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:
$x^2 \ge (2x+1)^2$
$x^2 \ge 4x^2 + 4x + 1$
$3x^2 + 4x + 1 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
Корни: $x_1 = \frac{-4-2}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-4+2}{6} = -1/3$.
Решение неравенства $3x^2 + 4x + 1 \le 0$ есть отрезок $[-1; -1/3]$.
Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $[-1; -1/3] \cap ((-\infty; -1) \cup (0; +\infty))$. Пересечение пусто. В этом случае решений нет.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.
$0 < |2x+1| < 1$. Это равносильно $-1 < 2x+1 < 1$ и $2x+1 \ne 0$.
$-1 < 2x+1 \implies -2 < 2x \implies x > -1$.
$2x+1 < 1 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.
Условие $2x+1 \ne 0$ дает $x \ne -1/2$.
Таким образом, этот случай рассматривается при $x \in (-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$.
В этом случае знак неравенства меняется на противоположный:
$|x| \le |2x+1|$
Возведем в квадрат:
$x^2 \le (2x+1)^2$
$x^2 \le 4x^2 + 4x + 1$
$3x^2 + 4x + 1 \ge 0$
Корни трехчлена те же: $-1$ и $-1/3$. Решение этого неравенства: $(-\infty; -1] \cup [-1/3; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $((-\infty; -1] \cup [-1/3; +\infty)) \cap ((-1; -1/2) \cup (-1/2; 0))$.
Пересечение $(-\infty; -1]$ с $(-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$ пусто.
Пересечение $[-1/3; +\infty)$ с $(-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$ дает $[-1/3; 0)$.
Интервал $[-1/3; 0)$ удовлетворяет ОДЗ, так как не содержит точек $-1$, $-1/2$, $0$.
Решение в этом случае: $x \in [-1/3; 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [-1/3; 0)$.

2) $\log_{x^2}|3x+1| < \frac{1}{2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $|3x+1| > 0$, что означает $3x+1 \ne 0 \implies x \ne -1/3$.
Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.
$x^2 > 0 \implies x \ne 0$.
$x^2 \ne 1 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, -1/3, 0, 1\}$.

Преобразуем правую часть неравенства:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\log_{x^2}(x^2) = \log_{x^2}((x^2)^{1/2}) = \log_{x^2}\sqrt{x^2} = \log_{x^2}|x|$.
Исходное неравенство принимает вид:
$\log_{x^2}|3x+1| < \log_{x^2}|x|$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.

Случай 1: Основание больше 1.
$x^2 > 1$. Это равносильно $x > 1$ или $x < -1$.
Этот случай рассматривается при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
В этом случае знак неравенства сохраняется:
$|3x+1| < |x|$
Возведем обе части в квадрат:
$(3x+1)^2 < x^2$
$9x^2 + 6x + 1 < x^2$
$8x^2 + 6x + 1 < 0$
Найдем корни трехчлена $8x^2 + 6x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$.
Корни: $x_1 = \frac{-6-2}{16} = -1/2$, $x_2 = \frac{-6+2}{16} = -1/4$.
Решение неравенства $8x^2 + 6x + 1 < 0$ есть интервал $(-1/2; -1/4)$.
Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $(-1/2; -1/4) \cap ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty))$. Пересечение пусто. В этом случае решений нет.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.
$0 < x^2 < 1$. Это равносильно $-1 < x < 1$ и $x \ne 0$.
Этот случай рассматривается при $x \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.
В этом случае знак неравенства меняется на противоположный:
$|3x+1| > |x|$
Возводим в квадрат:
$(3x+1)^2 > x^2$
$8x^2 + 6x + 1 > 0$
Корни трехчлена те же: $-1/2$ и $-1/4$. Решение этого неравенства: $(-\infty; -1/2) \cup (-1/4; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $((-\infty; -1/2) \cup (-1/4; +\infty)) \cap ((-1; 0) \cup (0; 1))$.
Пересечение $(-\infty; -1/2)$ с $(-1; 0) \cup (0; 1)$ дает $(-1; -1/2)$.
Пересечение $(-1/4; +\infty)$ с $(-1; 0) \cup (0; 1)$ дает $(-1/4; 0) \cup (0; 1)$.
Решение в этом случае: $x \in (-1; -1/2) \cup (-1/4; 0) \cup (0; 1)$.
Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ (точка $x=-1/3$ не входит в полученные интервалы).

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-1; -1/2) \cup (-1/4; 0) \cup (0; 1)$.

918. Найти все значения a, при которых неравенство

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + ax + 1) < 1$

выполняется для всех x из промежутка $x < 0$.

Исходное неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + ax + 1) < 1$ должно выполняться для всех $x < 0$.

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть область определения логарифма: его аргумент должен быть строго больше нуля. Это приводит к системе неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + ax + 1 > 0 \\ x^2 + ax + 1 > \left(\frac{1}{2}\right)^1 \end{cases} $$

Неравенство $x^2 + ax + 1 > \frac{1}{2}$ является более строгим, чем $x^2 + ax + 1 > 0$, поэтому достаточно потребовать выполнения только его. Таким образом, задача сводится к нахождению всех значений параметра $a$, при которых неравенство $x^2 + ax + 1 > \frac{1}{2}$ выполняется для всех $x < 0$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + ax + \frac{1}{2} > 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2 + ax + \frac{1}{2}$. Ее график — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Нам нужно, чтобы $f(x)$ была строго положительна для всех $x \in (-\infty, 0)$.

Проанализируем расположение параболы в зависимости от ее корней. Корни определяются дискриминантом $D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = a^2 - 2$.

Рассмотрим три возможных случая.

Первый случай: $D < 0$. Это соответствует $a^2 - 2 < 0$, то есть $a \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$. В этом случае у квадратного трехчлена нет действительных корней, и так как ветви параболы направлены вверх, функция $f(x)$ положительна при всех действительных $x$. Следовательно, она будет положительна и при всех $x < 0$. Таким образом, все $a \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ являются решениями.

Второй случай: $D = 0$. Это соответствует $a^2 - 2 = 0$, то есть $a = \sqrt{2}$ или $a = -\sqrt{2}$. В этом случае парабола касается оси абсцисс в одной точке (в своей вершине) $x_0 = -\frac{a}{2}$. В этой точке $f(x_0) = 0$, а для всех $x \neq x_0$ выполняется $f(x) > 0$. Условие $f(x) > 0$ для всех $x<0$ будет нарушено, если точка касания $x_0$ попадет в промежуток $(-\infty, 0)$.

Если $a = \sqrt{2}$, то $x_0 = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Точка касания принадлежит промежутку $(-\infty, 0)$, и в ней $f(x_0) = 0$. Это не удовлетворяет строгому неравенству. Значит, $a = \sqrt{2}$ не является решением.

Если $a = -\sqrt{2}$, то $x_0 = -\frac{-\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Точка касания не принадлежит промежутку $(-\infty, 0)$, поэтому для всех $x < 0$ выполняется $f(x) > 0$. Значит, $a = -\sqrt{2}$ является решением.

Третий случай: $D > 0$. Это соответствует $a^2 - 2 > 0$, то есть $a \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$. В этом случае парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках $x_1$ и $x_2$. Неравенство $f(x) > 0$ не выполняется для $x \in [x_1, x_2]$. Чтобы условие задачи выполнялось, промежуток $(-\infty, 0)$ не должен пересекаться с отрезком $[x_1, x_2]$. Это означает, что оба корня $x_1$ и $x_2$ должны быть неотрицательными: $0 \le x_1 \le x_2$.

Условия неотрицательности корней для квадратного трехчлена $x^2 + ax + \frac{1}{2} = 0$ (при $D \ge 0$) можно выразить через теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -a \ge 0$, что дает $a \le 0$; произведение корней $x_1 x_2 = \frac{1}{2} \ge 0$, что выполняется всегда. Следовательно, для того чтобы оба корня были неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $a \le 0$.

Совмещая это с условием для данного случая ($a \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$), получаем, что решениями являются $a \in (-\infty, -\sqrt{2})$.

Объединяя все полученные результаты из трех случаев: $a \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $a = -\sqrt{2}$ и $a \in (-\infty, -\sqrt{2})$. Общее решение представляет собой объединение этих множеств: $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup \{-\sqrt{2}\} \cup (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

Таким образом, неравенство выполняется при $a < \sqrt{2}$.

Ответ: $a \in (-\infty, \sqrt{2})$.

Решить неравенство (919—925).

919.

1) $x^{\lg^2x - 3\lg x + 1} > 1000;$

2) $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg x^2 + 5} - 2.$

1) $x^{\lg^2x - 3\lg x + 1} > 1000$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10. Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\lg(x^{\lg^2x - 3\lg x + 1}) > \lg(1000)$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем:
$(\lg^2x - 3\lg x + 1) \cdot \lg x > 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство принимает вид:
$(t^2 - 3t + 1) \cdot t > 3$
$t^3 - 3t^2 + t - 3 > 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$t^2(t - 3) + 1(t - 3) > 0$
$(t^2 + 1)(t - 3) > 0$

Выражение $t^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $t$, так как $t^2 \ge 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $t^2+1$, не меняя знака:
$t - 3 > 0$
$t > 3$

Вернемся к исходной переменной, подставив $t = \lg x$:
$\lg x > 3$

Представим 3 в виде десятичного логарифма: $3 = \lg(10^3) = \lg(1000)$.
$\lg x > \lg(1000)$
Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, переходим к неравенству для аргументов:
$x > 1000$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(1000; +\infty)$

2) $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg x^2 + 5} - 2$

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными. $x > 0$ и $x^2 > 0$. Второе условие выполняется для всех $x \neq 0$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$:
$3^{\lg x} \cdot 3^2 < 3^{2\lg x} \cdot 3^5 - 2$
$9 \cdot 3^{\lg x} < 243 \cdot (3^{\lg x})^2 - 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{\lg x}$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $y > 0$.
$9y < 243y^2 - 2$
$243y^2 - 9y - 2 > 0$

Решим квадратное уравнение $243y^2 - 9y - 2 = 0$, чтобы найти его корни.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(243)(-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486} = -\frac{2}{27}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$

Парабола $f(y) = 243y^2 - 9y - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $f(y) > 0$ выполняется при $y < y_1$ или $y > y_2$.
$y < -\frac{2}{27}$ или $y > \frac{1}{9}$

Учитывая условие замены $y > 0$, решение $y < -\frac{2}{27}$ не подходит. Остается только $y > \frac{1}{9}$.

Вернемся к исходной переменной:
$3^{\lg x} > \frac{1}{9}$
$3^{\lg x} > 3^{-2}$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому переходим к неравенству для показателей:
$\lg x > -2$

Решаем логарифмическое неравенство:
$\lg x > \lg(10^{-2})$
$x > 10^{-2}$
$x > 0.01$

Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(0.01; +\infty)$

920. $\log_{|2x+2|}(1-9^x) < \log_{|2x+2|}(1+3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right)$

Решим данное логарифмическое неравенство: $ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) < \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) + \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $.

Область допустимых значений (ОДЗ)

Необходимо выполнение следующих условий:

1. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:

$1 - 9^x > 0 \implies 9^x < 1 \implies 3^{2x} < 3^0 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.

Выражения $1 + 3^x$ и $\frac{5}{9} + 3^{x-1}$ всегда положительны, так как показательная функция $a^t$ всегда больше нуля.

2. Основание логарифма должно быть положительным и не равняться единице:

$|2x+2| > 0 \implies 2x+2 \ne 0 \implies x \ne -1$.

$|2x+2| \ne 1 \implies 2x+2 \ne 1$ и $2x+2 \ne -1$.

Из $2x+2 \ne 1$ получаем $2x \ne -1$, то есть $x \ne -1/2$.

Из $2x+2 \ne -1$ получаем $2x \ne -3$, то есть $x \ne -3/2$.

Таким образом, ОДЗ определяется системой условий: $x < 0$, $x \ne -3/2$, $x \ne -1$, $x \ne -1/2$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$.

Преобразование и решение неравенства

Используя свойства логарифмов, преобразуем исходное неравенство. Перенесем логарифмы в одну сторону и упростим:

$ \log_{|2x+2|}(1 - 9^x) - \log_{|2x+2|}(1 + 3^x) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $

Воспользуемся свойством разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$ \log_{|2x+2|}\left(\frac{1 - 9^x}{1 + 3^x}\right) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + 3^{x-1}\right) $

Упростим дробь в левой части, используя формулу разности квадратов $1 - 9^x = (1-3^x)(1+3^x)$:

$ \frac{1 - 9^x}{1 + 3^x} = \frac{(1-3^x)(1+3^x)}{1+3^x} = 1 - 3^x $

Неравенство принимает вид:

$ \log_{|2x+2|}(1 - 3^x) < \log_{|2x+2|}\left(\frac{5}{9} + \frac{3^x}{3}\right) $

Дальнейшее решение зависит от основания логарифма. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, то есть $|2x+2| > 1$.

Это условие выполняется при $2x+2 > 1$ или $2x+2 < -1$, что дает $x > -1/2$ или $x < -3/2$. С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-1/2; 0)$.

При основании больше 1 знак неравенства для аргументов сохраняется:

$ 1 - 3^x < \frac{5}{9} + \frac{3^x}{3} $

$ 1 - \frac{5}{9} < 3^x + \frac{3^x}{3} \implies \frac{4}{9} < \frac{4}{3} \cdot 3^x \implies \frac{1}{9} < 3^{x-1} \implies 3^{-2} < 3^{x-1} $

Так как основание степени $3 > 1$, то $-2 < x-1$, откуда $x > -1$.

Пересекая полученное решение $x > -1$ с множеством $x \in (-\infty; -3/2) \cup (-1/2; 0)$, находим решение для первого случая: $x \in (-1/2; 0)$.

Случай 2: Основание находится в интервале (0, 1), то есть $0 < |2x+2| < 1$.

Это условие выполняется при $-1 < 2x+2 < 1$ и $2x+2 \ne 0$, что дает $-3/2 < x < -1/2$ и $x \ne -1$. С учетом ОДЗ, этот случай рассматривается для $x \in (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2)$.

При основании от 0 до 1 знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$ 1 - 3^x > \frac{5}{9} + \frac{3^x}{3} $

Аналогичные преобразования приводят к $3^{-2} > 3^{x-1}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то $-2 > x-1$, откуда $x < -1$.

Пересекая полученное решение $x < -1$ с множеством $x \in (-3/2; -1) \cup (-1; -1/2)$, находим решение для второго случая: $x \in (-3/2; -1)$.

Итоговое решение

Объединяем решения, полученные в обоих случаях:

$ x \in (-3/2; -1) \cup (-1/2; 0) $

Ответ: $x \in \left(-\frac{3}{2}; -1\right) \cup \left(-\frac{1}{2}; 0\right)$.

921. 1) $(x^2 - 4)\log_{0.5}x > 0;$

2) $(3x - 1)\log_2x > 0;$

3) $\log_7\log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 0.$

1) $(x^2-4)\log_{0,5}x > 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

Далее решим неравенство методом интервалов. Произведение двух сомножителей положительно, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны). Найдем нули каждого сомножителя:

1. $x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0 \implies x = 2$ или $x = -2$.

2. $\log_{0,5}x = 0 \implies x = (0,5)^0 = 1$.

Учитывая ОДЗ ($x>0$), нанесем на числовую ось точки $x=1$ и $x=2$. Они разбивают область определения на три интервала: $(0; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знаки сомножителей и их произведения на каждом интервале.

На интервале $(0; 1)$: сомножитель $(x^2-4)$ отрицателен, а сомножитель $\log_{0,5}x$ (убывающая функция, основание $0,5 < 1$) положителен. Произведение $(-) \cdot (+) = (-)$ отрицательно.

На интервале $(1; 2)$: сомножитель $(x^2-4)$ отрицателен, и сомножитель $\log_{0,5}x$ также отрицателен. Произведение $(-) \cdot (-) = (+)$ положительно.

На интервале $(2; +\infty)$: сомножитель $(x^2-4)$ положителен, а сомножитель $\log_{0,5}x$ отрицателен. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$ отрицательно.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале, где произведение положительно.

Ответ: $(1; 2)$.

2) $(3x-1)\log_{2}x \ge 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули каждого сомножителя:

1. $3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.

2. $\log_2 x = 0 \implies x = 2^0 = 1$.

Нанесем на числовую ось точки $x=\frac{1}{3}$ и $x=1$, учитывая ОДЗ ($x>0$). Они разбивают область определения на три интервала: $(0; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знаки произведения на каждом интервале.

На интервале $(0; \frac{1}{3})$: $(3x-1) < 0$, $\log_2 x < 0$. Произведение $(-) \cdot (-) = (+)$ положительно.

На интервале $(\frac{1}{3}; 1)$: $(3x-1) > 0$, $\log_2 x < 0$. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$ отрицательно.

На интервале $(1; +\infty)$: $(3x-1) > 0$, $\log_2 x > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) = (+)$ положительно.

Неравенство является нестрогим ($\ge 0$), поэтому в решение необходимо включить точки, в которых произведение равно нулю, то есть $x=\frac{1}{3}$ и $x=1$.

Объединяя интервалы, где произведение положительно, и включая концы, получаем решение.

Ответ: $(0; \frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.

3) $\log_7\log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 0$

Так как основание внешнего логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Неравенство равносильно системе, которая учитывает и область определения внешнего логарифма:

$0 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 7^0 \implies 0 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 1$

Так как основание внутреннего логарифма $\frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:

$(\frac{1}{3})^1 < \frac{x^2+|x|-30}{x+6} < (\frac{1}{3})^0 \implies \frac{1}{3} < \frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 1$

Для решения этого двойного неравенства рассмотрим два случая раскрытия модуля.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x|=x$.

$\frac{1}{3} < \frac{x^2+x-30}{x+6} < 1$

Разложим числитель на множители: $x^2+x-30 = (x+6)(x-5)$. Так как $x \ge 0$, знаменатель $x+6 \ne 0$, и мы можем сократить дробь:

$\frac{1}{3} < x-5 < 1$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $5+\frac{1}{3} < x < 5+1 \implies \frac{16}{3} < x < 6$.

Полученный интервал $(\frac{16}{3}; 6)$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x|=-x$.

$\frac{1}{3} < \frac{x^2-x-30}{x+6} < 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

1) $\frac{x^2-x-30}{x+6} > \frac{1}{3} \implies \frac{3(x^2-x-30)-(x+6)}{3(x+6)} > 0 \implies \frac{3x^2-4x-96}{x+6} > 0$.
Корни числителя $3x^2-4x-96=0$: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4(3)(-96)}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{73}}{3}$.
Решение этого неравенства с учетом $x<0$ есть интервал $x \in (-6; \frac{2-2\sqrt{73}}{3})$.

2) $\frac{x^2-x-30}{x+6} < 1 \implies \frac{x^2-x-30-(x+6)}{x+6} < 0 \implies \frac{x^2-2x-36}{x+6} < 0$.
Корни числителя $x^2-2x-36=0$: $x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-36)}}{2} = 1 \pm \sqrt{

922. 1) $x^{1+lgx} < 0.1^{-2}$;

2) $x^{2lgx} < 10x$;

3) $3-x < \log_5(20+5^x)$.

1) $x^{1 + \lg x} < 0.1^{-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в неравенстве присутствует десятичный логарифм $\lg x$, то $x$ должен быть строго больше нуля.
ОДЗ: $x > 0$.
Теперь преобразуем правую часть неравенства:
$0.1^{-2} = (10^{-1})^{-2} = 10^2 = 100$.
Получаем неравенство:
$x^{1 + \lg x} < 100$.
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10. Так как основание логарифма 10 > 1, знак неравенства не меняется:
$\lg(x^{1 + \lg x}) < \lg(100)$.
Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$:
$(1 + \lg x) \cdot \lg x < \lg(10^2)$.
$(1 + \lg x) \cdot \lg x < 2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство примет вид:
$(1 + t)t < 2$.
$t^2 + t - 2 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Решением неравенства $t^2 + t - 2 < 0$ является интервал между корнями:
$-2 < t < 1$.
Вернемся к исходной переменной:
$-2 < \lg x < 1$.
Это двойное неравенство можно записать в виде:
$\lg(10^{-2}) < \lg x < \lg(10^1)$.
Так как функция $y = \lg x$ возрастающая, переходим к неравенству для аргументов:
$10^{-2} < x < 10^1$.
$0.01 < x < 10$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (0.01; 10)$.

2) $x^{2\lg x} < 10x$

ОДЗ: $x > 0$ из-за наличия $\lg x$.
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10. Так как основание 10 > 1, знак неравенства сохраняется:
$\lg(x^{2\lg x}) < \lg(10x)$.
Применим свойства логарифмов: $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$ и $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$.
$(2\lg x) \cdot (\lg x) < \lg(10) + \lg(x)$.
$2(\lg x)^2 < 1 + \lg x$.
Сделаем замену $t = \lg x$:
$2t^2 < 1 + t$.
$2t^2 - t - 1 < 0$.
Найдем корни уравнения $2t^2 - t - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1 + 3}{4} = 1$.
Решением неравенства $2t^2 - t - 1 < 0$ является интервал между корнями:
$-\frac{1}{2} < t < 1$.
Возвращаемся к замене:
$-\frac{1}{2} < \lg x < 1$.
$\lg(10^{-1/2}) < \lg x < \lg(10^1)$.
$10^{-1/2} < x < 10$.
$\frac{1}{\sqrt{10}} < x < 10$.
Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (\frac{1}{\sqrt{10}}; 10)$.

3) $3 - x < \log_5(20 + 5^x)$

ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положительным: $20 + 5^x > 0$.
Поскольку $5^x > 0$ для любого $x$, то и $20 + 5^x > 0$ всегда. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Представим левую часть неравенства в виде логарифма по основанию 5, используя основное логарифмическое тождество $a = \log_b(b^a)$:
$3 - x = \log_5(5^{3-x})$.
Подставим это в исходное неравенство:
$\log_5(5^{3-x}) < \log_5(20 + 5^x)$.
Так как основание логарифма 5 > 1, функция является возрастающей, и мы можем перейти к неравенству для подлогарифмических выражений, сохранив знак:
$5^{3-x} < 20 + 5^x$.
$5^3 \cdot 5^{-x} < 20 + 5^x$.
$\frac{125}{5^x} < 20 + 5^x$.
Сделаем замену $y = 5^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $y > 0$.
$\frac{125}{y} < 20 + y$.
Поскольку $y > 0$, мы можем умножить обе части на $y$, не меняя знака неравенства:
$125 < 20y + y^2$.
$y^2 + 20y - 125 > 0$.
Найдем корни уравнения $y^2 + 20y - 125 = 0$.
Дискриминант $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900$.
$y_1 = \frac{-20 - \sqrt{900}}{2} = \frac{-20 - 30}{2} = -25$.
$y_2 = \frac{-20 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-20 + 30}{2} = 5$.
Решением неравенства $y^2 + 20y - 125 > 0$ являются интервалы $y < -25$ и $y > 5$.
Учитывая условие $y > 0$, получаем: $y > 5$.
Вернемся к замене:
$5^x > 5$.
$5^x > 5^1$.
Так как основание 5 > 1, переходим к неравенству для показателей:
$x > 1$.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

923. 1) $ \left|\sqrt{32^x + 4} - \sqrt{32^x - 7}\right| < 1; $

2) $ 3^x \left(\sqrt{9^{1-x} - 1} + 1\right) < 3\left|3^x - 1\right| $

1) Решим неравенство $\sqrt{32^x + 4 - \sqrt{32^x - 7}} < 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным:$32^x - 7 \ge 0 \implies 32^x \ge 7 \implies 5x \ge \log_2 7 \implies x \ge \frac{1}{5}\log_2 7$.Выражение под внешним корнем также должно быть неотрицательным, но так как левая часть неравенства является квадратным корнем, она по определению неотрицательна. Условие $\text{LHS} < 1$ уже подразумевает, что подкоренное выражение определено и положительно.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{32^x - 7}$. Из ОДЗ следует, что $y \ge 0$.Тогда $y^2 = 32^x - 7$, откуда $32^x = y^2 + 7$.Подставим это в исходное неравенство:$\sqrt{(y^2 + 7) + 4 - y} < 1$$\sqrt{y^2 - y + 11} < 1$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:$y^2 - y + 11 < 1^2$$y^2 - y + 10 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $f(y) = y^2 - y + 10$. Найдем ее дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 1 - 40 = -39$.Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), парабола $f(y)$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $y^2 - y + 10 > 0$ для любого действительного значения $y$.Следовательно, неравенство $y^2 - y + 10 < 0$ не имеет решений.

Поскольку для переменной $y$ нет решений, то и для исходной переменной $x$ решений нет.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

2) Решим неравенство $3^x (\sqrt{9^{1-x} - 1} + 1) < 3|3^x - 1|$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$9^{1-x} - 1 \ge 0 \implies 9^{1-x} \ge 9^0 \implies 1-x \ge 0 \implies x \le 1$.

Преобразуем выражение в левой части неравенства:$\sqrt{9^{1-x} - 1} = \sqrt{\frac{9}{9^x} - 1} = \sqrt{\frac{9 - (3^x)^2}{(3^x)^2}} = \frac{\sqrt{9 - (3^x)^2}}{3^x}$, так как $3^x > 0$.Подставим это в исходное неравенство:$3^x \left(\frac{\sqrt{9 - (3^x)^2}}{3^x} + 1\right) < 3|3^x - 1|$$\sqrt{9 - (3^x)^2} + 3^x < 3|3^x - 1|$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Учитывая ОДЗ ($x \le 1$), получаем ограничение на $t$: $0 < t \le 3^1$, то есть $0 < t \le 3$.Неравенство принимает вид:$\sqrt{9 - t^2} + t < 3|t - 1|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

Случай 1: $t - 1 \ge 0$, то есть $t \ge 1$. С учетом области определения $t$, получаем $1 \le t \le 3$.Неравенство принимает вид $\sqrt{9 - t^2} + t < 3(t - 1)$, или $\sqrt{9 - t^2} < 2t - 3$.Левая часть неотрицательна, поэтому правая часть должна быть строго положительной: $2t - 3 > 0 \implies t > 1.5$.Таким образом, рассматриваем интервал $1.5 < t \le 3$. На этом интервале обе части неравенства положительны, можно возвести в квадрат:$9 - t^2 < (2t - 3)^2$$9 - t^2 < 4t^2 - 12t + 9$$0 < 5t^2 - 12t$$t(5t - 12) > 0$.Поскольку на рассматриваемом интервале $t > 0$, то должно выполняться $5t - 12 > 0 \implies t > 2.4$.Пересекая полученное решение $t > 2.4$ с условием $1.5 < t \le 3$, получаем $2.4 < t \le 3$.

Случай 2: $t - 1 < 0$, то есть $t < 1$. С учетом области определения $t$, получаем $0 < t < 1$.Неравенство принимает вид $\sqrt{9 - t^2} + t < -3(t - 1)$, или $\sqrt{9 - t^2} < 3 - 4t$.Правая часть должна быть положительной: $3 - 4t > 0 \implies t < 0.75$.Таким образом, рассматриваем интервал $0 < t < 0.75$. На этом интервале обе части положительны, возводим в квадрат:$9 - t^2 < (3 - 4t)^2$$9 - t^2 < 9 - 24t + 16t^2$$0 < 17t^2 - 24t$$t(17t - 24) > 0$.Поскольку $t > 0$, то $17t - 24 > 0 \implies t > \frac{24}{17}$.Но $\frac{24}{17} > 1$, что не входит в рассматриваемый интервал $0 < t < 0.75$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственное решение для $t$: $2.4 < t \le 3$.

Выполним обратную замену $t = 3^x$:$2.4 < 3^x \le 3$.Прологарифмируем все части неравенства по основанию 3 (так как $3 > 1$, знаки неравенства сохраняются):$\log_3 2.4 < \log_3(3^x) \le \log_3 3$$\log_3 2.4 < x \le 1$.

Ответ: $(\log_3 2.4, 1]$.

924. 1) $\log_{6x+1}(25x) - 2\log_{25x}(6x+1) > 1;$

2) $\log_{6x-1} \frac{x}{6x-1} > 2\log_x(6x-1);$

3) $\log_{x+4}(\sqrt{x+5}+1) \leq 1.$

1) $\log_{6x+1}(25x) - 2\log_{25x}(6x+1) > 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны, а основания — положительны и не равны единице.
$\begin{cases} 6x + 1 > 0 \\ 6x + 1 \neq 1 \\ 25x > 0 \\ 25x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1/6 \\ x \neq 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1/25 \end{cases}$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; 1/25) \cup (1/25; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство. Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.
$\log_{6x+1}(25x) - \frac{2}{\log_{6x+1}(25x)} > 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_{6x+1}(25x)$.
$y - \frac{2}{y} > 1$

3. Решим полученное неравенство относительно $y$.
$y - 1 - \frac{2}{y} > 0$
$\frac{y^2 - y - 2}{y} > 0$
$\frac{(y-2)(y+1)}{y} > 0$
Решая методом интервалов, находим, что неравенство выполняется при $y \in (-1; 0) \cup (2; +\infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной $x$. Рассмотрим два случая.
Случай A: $\log_{6x+1}(25x) > 2$.
Нужно рассмотреть два подслучая в зависимости от основания логарифма.
- Если основание $6x+1 > 1$, то есть $x > 0$. Это соответствует ОДЗ. Знак неравенства сохраняется.
$25x > (6x+1)^2 \implies 25x > 36x^2 + 12x + 1 \implies 36x^2 - 13x + 1 < 0$.
Корни квадратного трехчлена $36x^2 - 13x + 1 = 0$ равны $x_1 = 1/9$ и $x_2 = 1/4$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $1/9 < x < 1/4$. Этот интервал полностью удовлетворяет условиям $x > 0$ и ОДЗ.
- Если основание $0 < 6x+1 < 1$, то есть $-1/6 < x < 0$. Этот случай не пересекается с ОДЗ ($x>0$), поэтому решений здесь нет.

Случай B: $-1 < \log_{6x+1}(25x) < 0$.
- Если основание $6x+1 > 1$ ($x > 0$), то система неравенств равносильна:
$\begin{cases} \log_{6x+1}(25x) < 0 \\ \log_{6x+1}(25x) > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} 25x < (6x+1)^0 \\ 25x > (6x+1)^{-1} \end{cases} \implies \begin{cases} 25x < 1 \\ 25x > \frac{1}{6x+1} \end{cases}$
Из первого неравенства: $x < 1/25$.
Из второго: $25x(6x+1) > 1 \implies 150x^2 + 25x - 1 > 0$.
Корни уравнения $150x^2 + 25x - 1 = 0$ равны $x_1 = -1/5$ и $x_2 = 1/30$.
Неравенство выполняется при $x < -1/5$ или $x > 1/30$.
Объединяем условия для этого случая: $x > 0$, $x < 1/25$ и $x > 1/30$. Получаем $1/30 < x < 1/25$. Этот интервал удовлетворяет ОДЗ.
- Если основание $0 < 6x+1 < 1$ ($-1/6 < x < 0$), то решений нет, так как это не входит в ОДЗ.

5. Объединяем решения из случаев А и B.
$x \in (1/30; 1/25) \cup (1/9; 1/4)$.

Ответ: $x \in (1/30; 1/25) \cup (1/9; 1/4)$.

2) $\log_{6x-1}\frac{x}{6x-1} > 2\log_x(6x-1)$

1. Найдем ОДЗ.
$\begin{cases} 6x - 1 > 0 \\ 6x - 1 \neq 1 \\ \frac{x}{6x-1} > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/6 \\ x \neq 1/3 \\ x > 0 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$
Так как при $x > 1/6$ оба условия $x>0$ и $\frac{x}{6x-1} > 0$ выполняются, ОДЗ: $x \in (1/6; 1/3) \cup (1/3; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Преобразуем неравенство.
$\log_{6x-1}(x) - \log_{6x-1}(6x-1) > 2 \cdot \frac{1}{\log_{6x-1}(x)}$
$\log_{6x-1}(x) - 1 > \frac{2}{\log_{6x-1}(x)}$
Сделаем замену $y = \log_{6x-1}(x)$.
$y - 1 > \frac{2}{y}$

3. Решим неравенство относительно $y$.
$y - 1 - \frac{2}{y} > 0 \implies \frac{y^2 - y - 2}{y} > 0 \implies \frac{(y-2)(y+1)}{y} > 0$
Решение: $y \in (-1; 0) \cup (2; +\infty)$.

4. Вернемся к переменной $x$.
Случай A: $\log_{6x-1}(x) > 2$.
- Если основание $6x-1 > 1$ ($x > 1/3$): $x > (6x-1)^2 \implies 36x^2-13x+1 < 0 \implies 1/9 < x < 1/4$. Нет пересечения с $x > 1/3$. Решений нет.
- Если основание $0 < 6x-1 < 1$ ($1/6 < x < 1/3$): $x < (6x-1)^2 \implies 36x^2-13x+1 > 0 \implies x < 1/9$ или $x > 1/4$. Пересекая с $1/6 < x < 1/3$, получаем $x \in (1/4; 1/3)$.

Случай B: $-1 < \log_{6x-1}(x) < 0$.
- Если основание $6x-1 > 1$ ($x > 1/3$): $(6x-1)^{-1} < x < (6x-1)^0 \implies \frac{1}{6x-1} < x < 1$.
Решаем $\frac{1}{6x-1} < x \implies 1 < 6x^2 - x \implies 6x^2-x-1 > 0$. Корни $x_1=-1/3, x_2=1/2$. Решение: $x < -1/3$ или $x > 1/2$.
Пересекая $x > 1/3$, $x < 1$ и $(x < -1/3 \text{ или } x > 1/2)$, получаем $x \in (1/2; 1)$.
- Если основание $0 < 6x-1 < 1$ ($1/6 < x < 1/3$): $1 < x < \frac{1}{6x-1}$. Неравенство $x>1$ несовместимо с $1/6 < x < 1/3$. Решений нет.

5. Объединяем полученные решения.
$x \in (1/4; 1/3) \cup (1/2; 1)$.

Ответ: $x \in (1/4; 1/3) \cup (1/2; 1)$.

3) $\log_{x+4}(\sqrt{x+5}+1) \le 1$

1. Найдем ОДЗ.
$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x+4 > 0 \\ x+4 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x > -4 \\ x \neq -3 \end{cases}$
Аргумент логарифма $\sqrt{x+5}+1 \ge 1$, поэтому он всегда положителен.
ОДЗ: $x \in (-4; -3) \cup (-3; +\infty)$.

2. Представим 1 как логарифм с тем же основанием: $1 = \log_{x+4}(x+4)$.
$\log_{x+4}(\sqrt{x+5}+1) \le \log_{x+4}(x+4)$
Рассмотрим два случая в зависимости от основания.

Случай A: Основание $x+4 > 1$, то есть $x > -3$.
Знак неравенства сохраняется.
$\sqrt{x+5}+1 \le x+4 \implies \sqrt{x+5} \le x+3$.
Данное иррациональное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \\ x+5 \le (x+3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge -3 \\ x+5 \le x^2+6x+9 \end{cases}$
Решаем третье неравенство: $x^2+5x+4 \ge 0$. Корни $x_1=-4, x_2=-1$. Решение: $x \le -4$ или $x \ge -1$.
Пересекая все условия ($x > -3$, $x \ge -3$ и ($x \le -4$ или $x \ge -1$)), получаем $x \ge -1$.
Решение для этого случая: $x \in [-1; +\infty)$.

Случай B: Основание $0 < x+4 < 1$, то есть $-4 < x < -3$.
Знак неравенства меняется на противоположный.
$\sqrt{x+5}+1 \ge x+4 \implies \sqrt{x+5} \ge x+3$.
Это неравенство верно, если:
1) Правая часть отрицательна: $x+3 < 0 \implies x < -3$. С учетом ОДЗ ($x \ge -5$), получаем $x \in [-5; -3)$.
2) Правая часть неотрицательна ($x+3 \ge 0$) и обе части можно возвести в квадрат: $x+5 \ge (x+3)^2 \implies x^2+5x+4 \le 0 \implies -4 \le x \le -1$. В совокупности с $x \ge -3$, получаем $x \in [-3; -1]$.
Общее решение для $\sqrt{x+5} \ge x+3$ есть объединение этих двух результатов: $x \in [-5; -1]$.
Теперь пересекаем это решение с условием данного случая $-4 < x < -3$.
$[-5; -1] \cap (-4; -3) = (-4; -3)$.
Решение для этого случая: $x \in (-4; -3)$.

3. Объединяем решения из случаев А и B.
$x \in (-4; -3) \cup [-1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4; -3) \cup [-1; +\infty)$.

925. 1) $4\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} - \log_{\sqrt{4x+3}}(3|x|+1) > 0;$

2) $\log_{2|x|+1}(7x+4) - \log_{7x+4}(2|x|+1) > 0.$

Исходное неравенство: $4\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} - \log_{\sqrt{4x+3}}(3|x|+1) > 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основания логарифмов должны быть положительны и не равны единице, а подкоренное выражение должно быть положительным:
1. $3|x|+1 > 0 \implies$ выполняется для любого $x$, так как $|x| \ge 0$.
2. $3|x|+1 \ne 1 \implies 3|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
3. $\sqrt{4x+3} > 0 \implies 4x+3 > 0 \implies x > -3/4$.
4. $\sqrt{4x+3} \ne 1 \implies 4x+3 \ne 1 \implies 4x \ne -2 \implies x \ne -1/2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-3/4, -1/2) \cup (-1/2, 0) \cup (0, \infty)$.

Преобразуем неравенство. Заметим, что второй логарифм является обратным к первому по основанию и аргументу: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
$4\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} - \frac{1}{\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3}} > 0$.
Сделаем замену: пусть $t = \log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3}$.
Неравенство принимает вид: $4t - \frac{1}{t} > 0$.

Решим полученное неравенство относительно $t$:
$\frac{4t^2-1}{t} > 0 \implies \frac{(2t-1)(2t+1)}{t} > 0$.
Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $t \in (-1/2, 0) \cup (1/2, \infty)$.
Это равносильно совокупности двух систем:
1) $-1/2 < \log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} < 0$
2) $\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} > 1/2$

Рассмотрим основание логарифма $a = 3|x|+1$. Так как по ОДЗ $x \ne 0$, то $|x|>0$, и $a = 3|x|+1 > 1$. Следовательно, логарифмическая функция по этому основанию является возрастающей, и знаки неравенств при потенцировании сохраняются.

Решим первую систему: $-1/2 < \log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} < 0$.
Это равносильно системе $(3|x|+1)^{-1/2} < \sqrt{4x+3} < (3|x|+1)^0$.
$\frac{1}{\sqrt{3|x|+1}} < \sqrt{4x+3} < 1$.
Из $\sqrt{4x+3} < 1$ следует $4x+3 < 1 \implies 4x < -2 \implies x < -1/2$.
Из $\frac{1}{\sqrt{3|x|+1}} < \sqrt{4x+3}$ следует $1 < (4x+3)(3|x|+1)$.
Так как $x < -1/2$ (и из ОДЗ $x > -3/4$), то $x$ отрицателен, поэтому $|x|=-x$.
$1 < (4x+3)(-3x+1) \implies 1 < -12x^2 -5x + 3 \implies 12x^2+5x-2 < 0$.
Корни квадратного трехчлена $12x^2+5x-2=0$ равны $x_1 = -2/3$ и $x_2=1/4$.
Решение неравенства: $x \in (-2/3, 1/4)$.
Пересекая это решение с условием $x < -1/2$ и ОДЗ $x \in (-3/4, -1/2)$, получаем: $x \in (-2/3, -1/2)$.

Решим вторую систему: $\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} > 1/2$.
$\sqrt{4x+3} > (3|x|+1)^{1/2}$.
Возводим в квадрат: $4x+3 > 3|x|+1 \implies 4x+2 > 3|x|$.
Рассмотрим два случая:
а) $x > 0$ (входит в ОДЗ). Тогда $|x|=x$.
$4x+2 > 3x \implies x > -2$. В пересечении с $x>0$ получаем $x>0$. С учетом ОДЗ, решение: $(0, \infty)$.
б) $x \in (-3/4, -1/2) \cup (-1/2, 0)$. Тогда $|x|=-x$.
$4x+2 > -3x \implies 7x > -2 \implies x > -2/7$.
Пересекая $x > -2/7$ с $x \in (-3/4, -1/2) \cup (-1/2, 0)$, получаем $x \in (-2/7, 0)$.
Объединяя решения для этого случая, получаем: $x \in (-2/7, 0) \cup (0, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-2/3, -1/2) \cup (-2/7, 0) \cup (0, \infty)$.

Исходное неравенство: $\log_{2|x|+1}(7x+4) - \log_{7x+4}(2|x|+1) > 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основания и аргументы логарифмов должны быть положительны, а основания не должны быть равны единице:
1. $2|x|+1 > 0 \implies$ выполняется для любого $x$, так как $|x| \ge 0$.
2. $2|x|+1 \ne 1 \implies 2|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
3. $7x+4 > 0 \implies 7x > -4 \implies x > -4/7$.
4. $7x+4 \ne 1 \implies 7x \ne -3 \implies x \ne -3/7$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-4/7, -3/7) \cup (-3/7, 0) \cup (0, \infty)$.

Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
$\log_{2|x|+1}(7x+4) - \frac{1}{\log_{2|x|+1}(7x+4)} > 0$.
Сделаем замену: пусть $t = \log_{2|x|+1}(7x+4)$.
Неравенство принимает вид: $t - \frac{1}{t} > 0$.

Решим полученное неравенство относительно $t$:
$\frac{t^2-1}{t} > 0 \implies \frac{(t-1)(t+1)}{t} > 0$.
Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $t \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.
Это равносильно совокупности двух систем:
1) $-1 < \log_{2|x|+1}(7x+4) < 0$
2) $\log_{2|x|+1}(7x+4) > 1$

Рассмотрим основание логарифма $a = 2|x|+1$. Так как по ОДЗ $x \ne 0$, то $|x|>0$, и $a = 2|x|+1 > 1$. Следовательно, логарифмическая функция по этому основанию является возрастающей.

Решим первую систему: $-1 < \log_{2|x|+1}(7x+4) < 0$.
Это равносильно системе $(2|x|+1)^{-1} < 7x+4 < (2|x|+1)^0$.
$\frac{1}{2|x|+1} < 7x+4 < 1$.
Из $7x+4 < 1$ следует $7x < -3 \implies x < -3/7$.
Из $\frac{1}{2|x|+1} < 7x+4$ следует $1 < (7x+4)(2|x|+1)$.
Так как $x < -3/7$ (и из ОДЗ $x > -4/7$), то $x$ отрицателен, поэтому $|x|=-x$.
$1 < (7x+4)(-2x+1) \implies 1 < -14x^2 -x + 4 \implies 14x^2+x-3 < 0$.
Корни квадратного трехчлена $14x^2+x-3=0$ равны $x_1 = -1/2$ и $x_2=3/7$.
Решение неравенства: $x \in (-1/2, 3/7)$.
Найдем пересечение решений: $x \in (-4/7, -3/7)$ (из ОДЗ и $x<-3/7$) и $x \in (-1/2, 3/7)$.
Сравним числа: $-4/7 \approx -0.571$, $-1/2 = -0.5$, $-3/7 \approx -0.428$. Отсюда $-4/7 < -1/2 < -3/7$.
Пересечение интервалов $(-4/7, -3/7)$ и $(-1/2, 3/7)$ дает $x \in (-1/2, -3/7)$.

Решим вторую систему: $\log_{2|x|+1}(7x+4) > 1$.
$7x+4 > 2|x|+1 \implies 7x+3 > 2|x|$.
Рассмотрим два случая:
а) $x > 0$ (входит в ОДЗ). Тогда $|x|=x$.
$7x+3 > 2x \implies 5x > -3 \implies x > -3/5$. В пересечении с $x>0$ получаем $x>0$. С учетом ОДЗ, решение: $(0, \infty)$.
б) $x \in (-4/7, -3/7) \cup (-3/7, 0)$. Тогда $|x|=-x$.
$7x+3 > -2x \implies 9x > -3 \implies x > -1/3$.
Сравним числа: $-4/7 < -3/7 < -1/3$.
Пересекая $x > -1/3$ с $x \in (-4/7, -3/7) \cup (-3/7, 0)$, получаем $x \in (-1/3, 0)$.
Объединяя решения для этого случая, получаем: $x \in (-1/3, 0) \cup (0, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-1/2, -3/7) \cup (-1/3, 0) \cup (0, \infty)$.

926. Решить неравенство $9^{|x|} - 8 \cdot 3^x > 9$ и указать наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству.

Решение неравенства

Исходное неравенство: $9^{|x|} - 8 \cdot 3^x > 9$.

Для решения неравенства, содержащего модуль, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$9^x - 8 \cdot 3^x > 9$

Представим $9^x$ как $(3^x)^2$ и перенесем все слагаемые в левую часть:

$(3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 > 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку $x \ge 0$, то $3^x \ge 3^0$, что означает $t \ge 1$.

В результате замены получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 8t - 9 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 8t - 9 = 0$, используя, например, теорему Виета или формулу корней:

$t_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$

Корни уравнения: $t_1 = \frac{8 - 10}{2} = -1$ и $t_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$.

Парабола $y=t^2 - 8t - 9$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 8t - 9 > 0$ справедливо при $t < -1$ или $t > 9$.

Учитывая ограничение $t \ge 1$, из найденных решений для $t$ подходит только $t > 9$.

Произведем обратную замену:

$3^x > 9$

$3^x > 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому можно перейти к неравенству для показателей:

$x > 2$

Данное решение $x > 2$ удовлетворяет исходному условию $x \ge 0$. Таким образом, решение для первого случая: $x \in (2, \infty)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$9^{-x} - 8 \cdot 3^x > 9$

Сделаем замену $y = 3^x$. Учитывая, что $x < 0$, для переменной $y$ имеем ограничение $0 < 3^x < 3^0$, то есть $0 < y < 1$.

Тогда $9^{-x} = (3^2)^{-x} = (3^{-x})^2 = (\frac{1}{3^x})^2 = (\frac{1}{y})^2$. Неравенство преобразуется к виду:

$\frac{1}{y^2} - 8y - 9 > 0$

Умножим обе части на $y^2$. Так как $y > 0$, знак неравенства не меняется:

$1 - 8y^3 - 9y^2 > 0$

$8y^3 + 9y^2 - 1 < 0$

Для решения этого кубического неравенства найдем корни многочлена $P(y) = 8y^3 + 9y^2 - 1$. По теореме о рациональных корнях можно проверить, что $y=-1$ является корнем: $8(-1)^3 + 9(-1)^2 - 1 = -8 + 9 - 1 = 0$.

Разделим многочлен $8y^3 + 9y^2 - 1$ на $(y+1)$: $(8y^3 + 9y^2 - 1) \div (y+1) = 8y^2 + y - 1$.

Найдем корни квадратного трехчлена $8y^2 + y - 1 = 0$:

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1)}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{16}$

Таким образом, корни кубического многочлена: $y_1 = -1$, $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{16}$, $y_3 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{16}$.

Решаем неравенство $8(y+1)(y - \frac{-1 - \sqrt{33}}{16})(y - \frac{-1 + \sqrt{33}}{16}) < 0$ методом интервалов. Решением является объединение интервалов $y \in (-\infty, -1) \cup (\frac{-1 - \sqrt{33}}{16}, \frac{-1 + \sqrt{33}}{16})$.

Теперь учтем ограничение $0 < y < 1$.

Первый интервал $(-\infty, -1)$ не имеет пересечения с $(0, 1)$.

Рассмотрим второй интервал $(\frac{-1 - \sqrt{33}}{16}, \frac{-1 + \sqrt{33}}{16})$. Так как $\frac{-1 - \sqrt{33}}{16} < 0$ и $0 < \frac{-1 + \sqrt{33}}{16} < 1$, пересечением с $(0, 1)$ будет интервал $0 < y < \frac{-1 + \sqrt{33}}{16}$.

Произведем обратную замену:

$0 < 3^x < \frac{-1 + \sqrt{33}}{16}$

Прологарифмируем правую часть неравенства по основанию 3:

$x < \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right)$

Это значение отрицательно, что согласуется с условием $x < 0$. Решение для второго случая: $x \in (-\infty, \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right))$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое множество решений неравенства:

Ответ: $x \in (-\infty, \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right)) \cup (2, \infty)$.

Наименьшее натуральное число

Необходимо указать наименьшее натуральное число ($x \in \{1, 2, 3, \dots\}$), удовлетворяющее найденному решению $x \in (-\infty, \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right)) \cup (2, \infty)$.

Рассмотрим каждый из интервалов решения:

1. Интервал $(-\infty, \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right))$. Оценим значение $\log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right)$. Так как $5 < \sqrt{33} < 6$, то $4 < -1+\sqrt{33} < 5$. Тогда $\frac{4}{16} < \frac{-1+\sqrt{33}}{16} < \frac{5}{16}$, то есть $0 < \frac{-1+\sqrt{33}}{16} < 1$. Логарифм числа, меньшего 1, по основанию больше 1 является отрицательным числом. Таким образом, $\log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right) < 0$. Этот интервал не содержит натуральных чисел.

2. Интервал $(2, \infty)$. Этот интервал означает, что $x > 2$. Натуральные числа, которые больше 2, это $3, 4, 5, \dots$.

Наименьшим из этих чисел является 3.

Ответ: 3.