Номер 916, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 916, страница 334.

Условие.

916. 1) $log_{\frac{1}{2}}\left(1 + x - \sqrt{x^2 - 4}\right) \le 0;$

2) $\frac{1}{\log_5(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_5(3 - 2x)} < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(1 + x - \sqrt{x^2 - 4}) \le 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x^2 - 4 \ge 0$
$(x - 2)(x + 2) \ge 0$
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$1 + x - \sqrt{x^2 - 4} > 0$
$1 + x > \sqrt{x^2 - 4}$
Левая часть неравенства должна быть положительной (так как правая часть неотрицательна), поэтому $1 + x > 0$, то есть $x > -1$. С учетом первого условия ($x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$), получаем, что $x \ge 2$. При этом условии обе части неравенства $1 + x > \sqrt{x^2 - 4}$ положительны, и мы можем возвести их в квадрат:
$(1 + x)^2 > x^2 - 4$
$1 + 2x + x^2 > x^2 - 4$
$2x > -5$
$x > -2.5$
Пересекая все условия ОДЗ ($x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, $x > -1$ и $x > -2.5$), получаем итоговую ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

Теперь решим исходное неравенство. Представим 0 как логарифм с основанием $\frac{1}{2}$:
$\log_{\frac{1}{2}}(1 + x - \sqrt{x^2 - 4}) \le \log_{\frac{1}{2}}(1)$

Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$1 + x - \sqrt{x^2 - 4} \ge 1$
$x - \sqrt{x^2 - 4} \ge 0$
$x \ge \sqrt{x^2 - 4}$

Мы решаем это неравенство с учетом ОДЗ, где $x \ge 2$. При таких $x$ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$x^2 \ge x^2 - 4$
$0 \ge -4$
Это неравенство верно для любого $x$. Следовательно, решением является любое значение $x$, для которого неравенство $x \ge \sqrt{x^2 - 4}$ имеет смысл. Это $x \ge 2$.

Пересекая полученное решение $x \ge 2$ с ОДЗ ($x \in [2, \infty)$), получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [2, \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{1}{\log_5(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_5(3 - 2x)} < 0$.

Найдем ОДЗ:
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $3 - 2x > 0 \implies 2x < 3 \implies x < 1.5$.
2. Знаменатели не должны быть равны нулю:
$\log_5(3 - 2x) \ne 0 \implies 3 - 2x \ne 5^0 = 1 \implies 2x \ne 2 \implies x \ne 1$.
$4 - \log_5(3 - 2x) \ne 0 \implies \log_5(3 - 2x) \ne 4 \implies 3 - 2x \ne 5^4 = 625 \implies -2x \ne 622 \implies x \ne -311$.
Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty, -311) \cup (-311, 1) \cup (1, 1.5)$.

Для упрощения неравенства сделаем замену $t = \log_5(3 - 2x)$. Неравенство примет вид:
$\frac{1}{t} - \frac{1}{4 - t} < 0$

Приведем к общему знаменателю:
$\frac{4 - t - t}{t(4 - t)} < 0$
$\frac{4 - 2t}{t(4 - t)} < 0$
$\frac{2(2 - t)}{t(4 - t)} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов для переменной $t$. Корни числителя и знаменателя: $t=2$, $t=0$, $t=4$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Определим знаки выражения на этих интервалах:
- при $t > 4$: $\frac{(-)}{(+)(-)} > 0$
- при $2 < t < 4$: $\frac{(-)}{(+)(+)} < 0$ (подходит)
- при $0 < t < 2$: $\frac{(+)}{(+)(+)} > 0$
- при $t < 0$: $\frac{(+)}{(-)(+)} < 0$ (подходит)
Таким образом, решение для $t$: $t \in (-\infty, 0) \cup (2, 4)$.

Вернемся к переменной $x$. Получаем два случая:
1) $\log_5(3 - 2x) < 0$
Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$3 - 2x < 5^0$
$3 - 2x < 1$
$-2x < -2$
$x > 1$

2) $2 < \log_5(3 - 2x) < 4$
$5^2 < 3 - 2x < 5^4$
$25 < 3 - 2x < 625$
$22 < -2x < 622$
Делим на -2 и меняем знаки неравенства:
$-11 > x > -311$
$x \in (-311, -11)$

Объединяя решения из двух случаев, получаем: $x \in (-311, -11) \cup (1, \infty)$.

Теперь пересечем это решение с ОДЗ: $x \in (-\infty, -311) \cup (-311, 1) \cup (1, 1.5)$.
- Пересечение $(-311, -11)$ с ОДЗ дает $(-311, -11)$.
- Пересечение $(1, \infty)$ с ОДЗ дает $(1, 1.5)$.

Ответ: $x \in (-311, -11) \cup (1, 1.5)$.