Номер 914, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 914, страница 334.
№914 (с. 334)
Условие. №914 (с. 334)
скриншот условия

914. 1) $ \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3x+1}{x-1}\right)\right) \le 0; $
2) $ \log_{\frac{1}{3}}\left(\log_4(x^2-5)\right) > 0. $
Решение 1. №914 (с. 334)


Решение 2. №914 (с. 334)


Решение 3. №914 (с. 334)
1) $\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1}\right) \le 0$
Для решения данного логарифмического неравенства необходимо рассмотреть его поэтапно, начиная с внешнего логарифма. Исходное неравенство имеет вид $\log_a f(x) \le 0$, где основание $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Кроме того, аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.
Таким образом, исходное неравенство равносильно следующей системе:
$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^0 \end{cases} \implies \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \ge 1$
Мы получили новое логарифмическое неравенство. Снова, основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, поэтому при потенцировании мы меняем знак неравенства. Также необходимо учесть область определения этого логарифма.
Неравенство $\log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \ge 1$ равносильно системе:
$\begin{cases} \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0 \\ \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \le \left(\frac{1}{2}\right)^1 \end{cases} \iff \begin{cases} \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0 \\ \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \le \frac{1}{2} \end{cases}$
Решим каждое неравенство системы.
Первое неравенство: $\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0$. Найдём нули числителя и знаменателя: $3x+1=0 \implies x = -1/3$; $\frac{1}{2}x-1=0 \implies x = 2$. Применим метод интервалов. На числовой оси отмечаем точки $-1/3$ и $2$. Интервалы: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 2)$, $(2, +\infty)$. Определяем знаки выражения на интервалах: `+`, `-`, `+`. Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2, +\infty)$.
Второе неравенство: $\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \le \frac{1}{2}$. Перенесём все члены в левую часть и приведём к общему знаменателю:
$\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} - \frac{1}{2} \le 0$
$\frac{2(3x+1) - (\frac{1}{2}x-1)}{2(\frac{1}{2}x-1)} \le 0$
$\frac{6x+2 - \frac{1}{2}x + 1}{x-2} \le 0$
$\frac{\frac{11}{2}x + 3}{x-2} \le 0 \iff \frac{11x+6}{2(x-2)} \le 0$
Найдём нули числителя и знаменателя: $11x+6=0 \implies x = -6/11$; $x-2=0 \implies x = 2$. Применим метод интервалов. На числовой оси отмечаем точки $-6/11$ (включительно) и $2$ (исключительно). Интервалы: $(-\infty, -6/11]$, $[-6/11, 2)$, $(2, +\infty)$. Определяем знаки выражения на интервалах: `+`, `-`, `+`. Решением является интервал, где выражение отрицательно или равно нулю: $x \in [-6/11, 2)$.
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty, -1/3) \cup (2, +\infty)) \cap [-6/11, 2)$. Сравнивая значения $-6/11 \approx -0.545$ и $-1/3 \approx -0.333$, видим, что $-6/11 < -1/3$. Пересечение множеств даёт интервал $[-6/11, -1/3)$.
Ответ: $x \in [-6/11, -1/3)$.
2) $\log_{\frac{1}{3}}(\log_4(x^2 - 5)) > 0$
Это также неравенство с вложенными логарифмами. Начнём с внешнего логарифма. Основание внешнего логарифма $a = \frac{1}{3}$ меньше 1, следовательно, функция убывающая. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Также аргумент логарифма должен быть строго положительным.
Исходное неравенство равносильно двойному неравенству:
$0 < \log_4(x^2 - 5) < \left(\frac{1}{3}\right)^0$
$0 < \log_4(x^2 - 5) < 1$
Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} \log_4(x^2 - 5) > 0 \\ \log_4(x^2 - 5) < 1 \end{cases}$
Решим каждое неравенство. Основание внутреннего логарифма $a=4$ больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства при потенцировании сохраняется.
Решаем первое неравенство: $\log_4(x^2 - 5) > 0$. Это неравенство также обеспечивает выполнение условия области определения $x^2-5>0$.
$x^2 - 5 > 4^0$
$x^2 - 5 > 1$
$x^2 > 6$
$|x| > \sqrt{6} \implies x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)$.
Решаем второе неравенство: $\log_4(x^2 - 5) < 1$.
$x^2 - 5 < 4^1$
$x^2 - 5 < 4$
$x^2 < 9$
$|x| < 3 \implies x \in (-3, 3)$.
Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств:
$x \in ((-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)) \cap (-3, 3)$.
Это соответствует условию $\sqrt{6} < |x| < 3$. Решением этого двойного неравенства для модуля является объединение двух интервалов:
$x \in (-3, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 914 расположенного на странице 334 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №914 (с. 334), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.