Номер 914, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 914, страница 334.

Условие.

914. 1) $ \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3x+1}{x-1}\right)\right) \le 0; $

2) $ \log_{\frac{1}{3}}\left(\log_4(x^2-5)\right) > 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1}\right) \le 0$

Для решения данного логарифмического неравенства необходимо рассмотреть его поэтапно, начиная с внешнего логарифма. Исходное неравенство имеет вид $\log_a f(x) \le 0$, где основание $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей, и при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Кроме того, аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующей системе:

$\begin{cases} \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0 \\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^0 \end{cases} \implies \log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \ge 1$

Мы получили новое логарифмическое неравенство. Снова, основание логарифма $\frac{1}{2} < 1$, поэтому при потенцировании мы меняем знак неравенства. Также необходимо учесть область определения этого логарифма.

Неравенство $\log_{\frac{1}{2}}\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \ge 1$ равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0 \\ \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \le \left(\frac{1}{2}\right)^1 \end{cases} \iff \begin{cases} \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0 \\ \frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \le \frac{1}{2} \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

Первое неравенство: $\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} > 0$. Найдём нули числителя и знаменателя: $3x+1=0 \implies x = -1/3$; $\frac{1}{2}x-1=0 \implies x = 2$. Применим метод интервалов. На числовой оси отмечаем точки $-1/3$ и $2$. Интервалы: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 2)$, $(2, +\infty)$. Определяем знаки выражения на интервалах: `+`, `-`, `+`. Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2, +\infty)$.

Второе неравенство: $\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} \le \frac{1}{2}$. Перенесём все члены в левую часть и приведём к общему знаменателю:

$\frac{3x+1}{\frac{1}{2}x-1} - \frac{1}{2} \le 0$

$\frac{2(3x+1) - (\frac{1}{2}x-1)}{2(\frac{1}{2}x-1)} \le 0$

$\frac{6x+2 - \frac{1}{2}x + 1}{x-2} \le 0$

$\frac{\frac{11}{2}x + 3}{x-2} \le 0 \iff \frac{11x+6}{2(x-2)} \le 0$

Найдём нули числителя и знаменателя: $11x+6=0 \implies x = -6/11$; $x-2=0 \implies x = 2$. Применим метод интервалов. На числовой оси отмечаем точки $-6/11$ (включительно) и $2$ (исключительно). Интервалы: $(-\infty, -6/11]$, $[-6/11, 2)$, $(2, +\infty)$. Определяем знаки выражения на интервалах: `+`, `-`, `+`. Решением является интервал, где выражение отрицательно или равно нулю: $x \in [-6/11, 2)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in ((-\infty, -1/3) \cup (2, +\infty)) \cap [-6/11, 2)$. Сравнивая значения $-6/11 \approx -0.545$ и $-1/3 \approx -0.333$, видим, что $-6/11 < -1/3$. Пересечение множеств даёт интервал $[-6/11, -1/3)$.

Ответ: $x \in [-6/11, -1/3)$.

2) $\log_{\frac{1}{3}}(\log_4(x^2 - 5)) > 0$

Это также неравенство с вложенными логарифмами. Начнём с внешнего логарифма. Основание внешнего логарифма $a = \frac{1}{3}$ меньше 1, следовательно, функция убывающая. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Также аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Исходное неравенство равносильно двойному неравенству:

$0 < \log_4(x^2 - 5) < \left(\frac{1}{3}\right)^0$

$0 < \log_4(x^2 - 5) < 1$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:

$\begin{cases} \log_4(x^2 - 5) > 0 \\ \log_4(x^2 - 5) < 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство. Основание внутреннего логарифма $a=4$ больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства при потенцировании сохраняется.

Решаем первое неравенство: $\log_4(x^2 - 5) > 0$. Это неравенство также обеспечивает выполнение условия области определения $x^2-5>0$.

$x^2 - 5 > 4^0$

$x^2 - 5 > 1$

$x^2 > 6$

$|x| > \sqrt{6} \implies x \in (-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)$.

Решаем второе неравенство: $\log_4(x^2 - 5) < 1$.

$x^2 - 5 < 4^1$

$x^2 - 5 < 4$

$x^2 < 9$

$|x| < 3 \implies x \in (-3, 3)$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств:

$x \in ((-\infty, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, +\infty)) \cap (-3, 3)$.

Это соответствует условию $\sqrt{6} < |x| < 3$. Решением этого двойного неравенства для модуля является объединение двух интервалов:

$x \in (-3, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3)$.

Ответ: $x \in (-3, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3)$.