Номер 919, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 919, страница 334.

Условие.

Решить неравенство (919—925).

919.

1) $x^{\lg^2x - 3\lg x + 1} > 1000;$

2) $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg x^2 + 5} - 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^{\lg^2x - 3\lg x + 1} > 1000$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10. Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\lg(x^{\lg^2x - 3\lg x + 1}) > \lg(1000)$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем:
$(\lg^2x - 3\lg x + 1) \cdot \lg x > 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство принимает вид:
$(t^2 - 3t + 1) \cdot t > 3$
$t^3 - 3t^2 + t - 3 > 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$t^2(t - 3) + 1(t - 3) > 0$
$(t^2 + 1)(t - 3) > 0$

Выражение $t^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном значении $t$, так как $t^2 \ge 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $t^2+1$, не меняя знака:
$t - 3 > 0$
$t > 3$

Вернемся к исходной переменной, подставив $t = \lg x$:
$\lg x > 3$

Представим 3 в виде десятичного логарифма: $3 = \lg(10^3) = \lg(1000)$.
$\lg x > \lg(1000)$
Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, переходим к неравенству для аргументов:
$x > 1000$

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(1000; +\infty)$

2) $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg x^2 + 5} - 2$

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными. $x > 0$ и $x^2 > 0$. Второе условие выполняется для всех $x \neq 0$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$:
$3^{\lg x} \cdot 3^2 < 3^{2\lg x} \cdot 3^5 - 2$
$9 \cdot 3^{\lg x} < 243 \cdot (3^{\lg x})^2 - 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{\lg x}$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $y > 0$.
$9y < 243y^2 - 2$
$243y^2 - 9y - 2 > 0$

Решим квадратное уравнение $243y^2 - 9y - 2 = 0$, чтобы найти его корни.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4(243)(-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$.
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 45}{2 \cdot 243} = \frac{-36}{486} = -\frac{2}{27}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 45}{2 \cdot 243} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$

Парабола $f(y) = 243y^2 - 9y - 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $f(y) > 0$ выполняется при $y < y_1$ или $y > y_2$.
$y < -\frac{2}{27}$ или $y > \frac{1}{9}$

Учитывая условие замены $y > 0$, решение $y < -\frac{2}{27}$ не подходит. Остается только $y > \frac{1}{9}$.

Вернемся к исходной переменной:
$3^{\lg x} > \frac{1}{9}$
$3^{\lg x} > 3^{-2}$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому переходим к неравенству для показателей:
$\lg x > -2$

Решаем логарифмическое неравенство:
$\lg x > \lg(10^{-2})$
$x > 10^{-2}$
$x > 0.01$

Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(0.01; +\infty)$