Номер 922, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 922, страница 334.

Условие.

922. 1) $x^{1+lgx} < 0.1^{-2}$;

2) $x^{2lgx} < 10x$;

3) $3-x < \log_5(20+5^x)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^{1 + \lg x} < 0.1^{-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в неравенстве присутствует десятичный логарифм $\lg x$, то $x$ должен быть строго больше нуля.
ОДЗ: $x > 0$.
Теперь преобразуем правую часть неравенства:
$0.1^{-2} = (10^{-1})^{-2} = 10^2 = 100$.
Получаем неравенство:
$x^{1 + \lg x} < 100$.
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10. Так как основание логарифма 10 > 1, знак неравенства не меняется:
$\lg(x^{1 + \lg x}) < \lg(100)$.
Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$:
$(1 + \lg x) \cdot \lg x < \lg(10^2)$.
$(1 + \lg x) \cdot \lg x < 2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Неравенство примет вид:
$(1 + t)t < 2$.
$t^2 + t - 2 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Решением неравенства $t^2 + t - 2 < 0$ является интервал между корнями:
$-2 < t < 1$.
Вернемся к исходной переменной:
$-2 < \lg x < 1$.
Это двойное неравенство можно записать в виде:
$\lg(10^{-2}) < \lg x < \lg(10^1)$.
Так как функция $y = \lg x$ возрастающая, переходим к неравенству для аргументов:
$10^{-2} < x < 10^1$.
$0.01 < x < 10$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (0.01; 10)$.

2) $x^{2\lg x} < 10x$

ОДЗ: $x > 0$ из-за наличия $\lg x$.
Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 10. Так как основание 10 > 1, знак неравенства сохраняется:
$\lg(x^{2\lg x}) < \lg(10x)$.
Применим свойства логарифмов: $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$ и $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$.
$(2\lg x) \cdot (\lg x) < \lg(10) + \lg(x)$.
$2(\lg x)^2 < 1 + \lg x$.
Сделаем замену $t = \lg x$:
$2t^2 < 1 + t$.
$2t^2 - t - 1 < 0$.
Найдем корни уравнения $2t^2 - t - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1 + 3}{4} = 1$.
Решением неравенства $2t^2 - t - 1 < 0$ является интервал между корнями:
$-\frac{1}{2} < t < 1$.
Возвращаемся к замене:
$-\frac{1}{2} < \lg x < 1$.
$\lg(10^{-1/2}) < \lg x < \lg(10^1)$.
$10^{-1/2} < x < 10$.
$\frac{1}{\sqrt{10}} < x < 10$.
Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (\frac{1}{\sqrt{10}}; 10)$.

3) $3 - x < \log_5(20 + 5^x)$

ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положительным: $20 + 5^x > 0$.
Поскольку $5^x > 0$ для любого $x$, то и $20 + 5^x > 0$ всегда. Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Представим левую часть неравенства в виде логарифма по основанию 5, используя основное логарифмическое тождество $a = \log_b(b^a)$:
$3 - x = \log_5(5^{3-x})$.
Подставим это в исходное неравенство:
$\log_5(5^{3-x}) < \log_5(20 + 5^x)$.
Так как основание логарифма 5 > 1, функция является возрастающей, и мы можем перейти к неравенству для подлогарифмических выражений, сохранив знак:
$5^{3-x} < 20 + 5^x$.
$5^3 \cdot 5^{-x} < 20 + 5^x$.
$\frac{125}{5^x} < 20 + 5^x$.
Сделаем замену $y = 5^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $y > 0$.
$\frac{125}{y} < 20 + y$.
Поскольку $y > 0$, мы можем умножить обе части на $y$, не меняя знака неравенства:
$125 < 20y + y^2$.
$y^2 + 20y - 125 > 0$.
Найдем корни уравнения $y^2 + 20y - 125 = 0$.
Дискриминант $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900$.
$y_1 = \frac{-20 - \sqrt{900}}{2} = \frac{-20 - 30}{2} = -25$.
$y_2 = \frac{-20 + \sqrt{900}}{2} = \frac{-20 + 30}{2} = 5$.
Решением неравенства $y^2 + 20y - 125 > 0$ являются интервалы $y < -25$ и $y > 5$.
Учитывая условие $y > 0$, получаем: $y > 5$.
Вернемся к замене:
$5^x > 5$.
$5^x > 5^1$.
Так как основание 5 > 1, переходим к неравенству для показателей:
$x > 1$.
Ответ: $x \in (1; +\infty)$.