Номер 917, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 917, страница 334.

Условие.

917. 1) $\log_{|2x+1|}x^2 \ge 2;$

2) $\log_{x^2}|3x+1| < \frac{1}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\log_{|2x+1|}x^2 \ge 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2 > 0$, что означает $x \ne 0$.
Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.
$|2x+1| > 0 \implies 2x+1 \ne 0 \implies x \ne -1/2$.
$|2x+1| \ne 1 \implies 2x+1 \ne 1$ и $2x+1 \ne -1$.
Из $2x+1 \ne 1$ следует $2x \ne 0$, то есть $x \ne 0$.
Из $2x+1 \ne -1$ следует $2x \ne -2$, то есть $x \ne -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; -1/2) \cup (-1/2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a |b|$ для четного $c$, преобразуем неравенство:
$2\log_{|2x+1|}|x| \ge 2$
$\log_{|2x+1|}|x| \ge 1$
Представим 1 как логарифм по тому же основанию: $\log_{|2x+1|}|x| \ge \log_{|2x+1|}|2x+1|$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.

Случай 1: Основание больше 1.
$|2x+1| > 1$. Это равносильно совокупности неравенств:
$2x+1 > 1 \implies 2x > 0 \implies x > 0$
или
$2x+1 < -1 \implies 2x < -2 \implies x < -1$
Таким образом, этот случай рассматривается при $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.
В этом случае знак неравенства сохраняется:
$|x| \ge |2x+1|$
Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:
$x^2 \ge (2x+1)^2$
$x^2 \ge 4x^2 + 4x + 1$
$3x^2 + 4x + 1 \le 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
Корни: $x_1 = \frac{-4-2}{6} = -1$, $x_2 = \frac{-4+2}{6} = -1/3$.
Решение неравенства $3x^2 + 4x + 1 \le 0$ есть отрезок $[-1; -1/3]$.
Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $[-1; -1/3] \cap ((-\infty; -1) \cup (0; +\infty))$. Пересечение пусто. В этом случае решений нет.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.
$0 < |2x+1| < 1$. Это равносильно $-1 < 2x+1 < 1$ и $2x+1 \ne 0$.
$-1 < 2x+1 \implies -2 < 2x \implies x > -1$.
$2x+1 < 1 \implies 2x < 0 \implies x < 0$.
Условие $2x+1 \ne 0$ дает $x \ne -1/2$.
Таким образом, этот случай рассматривается при $x \in (-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$.
В этом случае знак неравенства меняется на противоположный:
$|x| \le |2x+1|$
Возведем в квадрат:
$x^2 \le (2x+1)^2$
$x^2 \le 4x^2 + 4x + 1$
$3x^2 + 4x + 1 \ge 0$
Корни трехчлена те же: $-1$ и $-1/3$. Решение этого неравенства: $(-\infty; -1] \cup [-1/3; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $((-\infty; -1] \cup [-1/3; +\infty)) \cap ((-1; -1/2) \cup (-1/2; 0))$.
Пересечение $(-\infty; -1]$ с $(-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$ пусто.
Пересечение $[-1/3; +\infty)$ с $(-1; -1/2) \cup (-1/2; 0)$ дает $[-1/3; 0)$.
Интервал $[-1/3; 0)$ удовлетворяет ОДЗ, так как не содержит точек $-1$, $-1/2$, $0$.
Решение в этом случае: $x \in [-1/3; 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in [-1/3; 0)$.

2) $\log_{x^2}|3x+1| < \frac{1}{2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $|3x+1| > 0$, что означает $3x+1 \ne 0 \implies x \ne -1/3$.
Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице.
$x^2 > 0 \implies x \ne 0$.
$x^2 \ne 1 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, -1/3, 0, 1\}$.

Преобразуем правую часть неравенства:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\log_{x^2}(x^2) = \log_{x^2}((x^2)^{1/2}) = \log_{x^2}\sqrt{x^2} = \log_{x^2}|x|$.
Исходное неравенство принимает вид:
$\log_{x^2}|3x+1| < \log_{x^2}|x|$.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения основания.

Случай 1: Основание больше 1.
$x^2 > 1$. Это равносильно $x > 1$ или $x < -1$.
Этот случай рассматривается при $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
В этом случае знак неравенства сохраняется:
$|3x+1| < |x|$
Возведем обе части в квадрат:
$(3x+1)^2 < x^2$
$9x^2 + 6x + 1 < x^2$
$8x^2 + 6x + 1 < 0$
Найдем корни трехчлена $8x^2 + 6x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$.
Корни: $x_1 = \frac{-6-2}{16} = -1/2$, $x_2 = \frac{-6+2}{16} = -1/4$.
Решение неравенства $8x^2 + 6x + 1 < 0$ есть интервал $(-1/2; -1/4)$.
Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $(-1/2; -1/4) \cap ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty))$. Пересечение пусто. В этом случае решений нет.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1.
$0 < x^2 < 1$. Это равносильно $-1 < x < 1$ и $x \ne 0$.
Этот случай рассматривается при $x \in (-1; 0) \cup (0; 1)$.
В этом случае знак неравенства меняется на противоположный:
$|3x+1| > |x|$
Возводим в квадрат:
$(3x+1)^2 > x^2$
$8x^2 + 6x + 1 > 0$
Корни трехчлена те же: $-1/2$ и $-1/4$. Решение этого неравенства: $(-\infty; -1/2) \cup (-1/4; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с условием для данного случая: $((-\infty; -1/2) \cup (-1/4; +\infty)) \cap ((-1; 0) \cup (0; 1))$.
Пересечение $(-\infty; -1/2)$ с $(-1; 0) \cup (0; 1)$ дает $(-1; -1/2)$.
Пересечение $(-1/4; +\infty)$ с $(-1; 0) \cup (0; 1)$ дает $(-1/4; 0) \cup (0; 1)$.
Решение в этом случае: $x \in (-1; -1/2) \cup (-1/4; 0) \cup (0; 1)$.
Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ (точка $x=-1/3$ не входит в полученные интервалы).

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-1; -1/2) \cup (-1/4; 0) \cup (0; 1)$.