Номер 911, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 911, страница 334.
№911 (с. 334)
Условие. №911 (с. 334)
скриншот условия

911. 1) $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$;
2) $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + 2.
Решение 1. №911 (с. 334)


Решение 2. №911 (с. 334)

Решение 3. №911 (с. 334)
1) $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$
Для решения данного неравенства сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $x > 0$.
Во-вторых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\lg x \ge 0$.
Поскольку основание десятичного логарифма равно 10 (что больше 1), неравенство $\lg x \ge 0$ эквивалентно неравенству $x \ge 10^0$, то есть $x \ge 1$.
Объединяя условия $x > 0$ и $x \ge 1$, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.
Теперь перейдем к решению самого неравенства. Так как обе части неравенства $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:
$(\sqrt{\lg x})^2 < (\frac{1}{2})^2$
$\lg x < \frac{1}{4}$
Теперь решим полученное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма 10 > 1, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, при потенцировании (переходе от логарифмов к их аргументам) знак неравенства сохраняется:
$x < 10^{\frac{1}{4}}$
$x < \sqrt[4]{10}$
Наконец, найдем пересечение полученного решения с областью допустимых значений:
$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ x < \sqrt[4]{10} \end{array} \right.$
Следовательно, решение неравенства представляет собой промежуток от 1 (включительно) до $\sqrt[4]{10}$ (не включая).
Ответ: $[1; \sqrt[4]{10})$.
2) $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + 2$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:
$\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ 2x+6 > 0 \end{array} \right.$
Решаем второе неравенство системы: $2x > -6$, что дает $x > -3$.
Пересечением двух условий ($x > 0$ и $x > -3$) является $x > 0$. Итак, ОДЗ: $x > 0$.
Теперь преобразуем исходное неравенство. Для этого представим число 2 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:
$2 = 2 \cdot \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^2) = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4})$
Подставим это выражение в неравенство:
$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4})$
Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, получаем:
$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}((2x+6) \cdot \frac{1}{4})$
$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(\frac{2x+6}{4})$
$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(\frac{x+3}{2})$
Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 (но больше 0), логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x > \frac{x+3}{2}$
Решим полученное линейное неравенство. Умножим обе части на 2:
$2x > x+3$
$2x - x > 3$
$x > 3$
Теперь необходимо соотнести полученное решение с ОДЗ ($x > 0$):
$\left\{ \begin{array}{l} x > 3 \\ x > 0 \end{array} \right.$
Пересечением этих двух условий является $x > 3$.
Ответ: $(3; +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 911 расположенного на странице 334 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №911 (с. 334), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.