Номер 911, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 911, страница 334.

Условие.

911. 1) $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$;

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$

Для решения данного неравенства сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $x > 0$.
Во-вторых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\lg x \ge 0$.
Поскольку основание десятичного логарифма равно 10 (что больше 1), неравенство $\lg x \ge 0$ эквивалентно неравенству $x \ge 10^0$, то есть $x \ge 1$.
Объединяя условия $x > 0$ и $x \ge 1$, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Так как обе части неравенства $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$ неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$(\sqrt{\lg x})^2 < (\frac{1}{2})^2$
$\lg x < \frac{1}{4}$

Теперь решим полученное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма 10 > 1, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, при потенцировании (переходе от логарифмов к их аргументам) знак неравенства сохраняется:

$x < 10^{\frac{1}{4}}$
$x < \sqrt[4]{10}$

Наконец, найдем пересечение полученного решения с областью допустимых значений:

$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 1 \\ x < \sqrt[4]{10} \end{array} \right.$

Следовательно, решение неравенства представляет собой промежуток от 1 (включительно) до $\sqrt[4]{10}$ (не включая).

Ответ: $[1; \sqrt[4]{10})$.

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ 2x+6 > 0 \end{array} \right.$

Решаем второе неравенство системы: $2x > -6$, что дает $x > -3$.
Пересечением двух условий ($x > 0$ и $x > -3$) является $x > 0$. Итак, ОДЗ: $x > 0$.

Теперь преобразуем исходное неравенство. Для этого представим число 2 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{2}$:

$2 = 2 \cdot \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^2) = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4})$

Подставим это выражение в неравенство:

$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(2x+6) + \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4})$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, получаем:

$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}((2x+6) \cdot \frac{1}{4})$
$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(\frac{2x+6}{4})$
$\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}}(\frac{x+3}{2})$

Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1 (но больше 0), логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x > \frac{x+3}{2}$

Решим полученное линейное неравенство. Умножим обе части на 2:

$2x > x+3$
$2x - x > 3$
$x > 3$

Теперь необходимо соотнести полученное решение с ОДЗ ($x > 0$):

$\left\{ \begin{array}{l} x > 3 \\ x > 0 \end{array} \right.$

Пересечением этих двух условий является $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$.