Номер 905, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 905, страница 333.

Условие.

905. 1) $5^{x^2+3x+1.5} < 5\sqrt{5}$;

2) $0.2^{x^2-6x+7} \ge 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано показательное неравенство: $5^{x^2 + 3x + 1.5} < 5\sqrt{5}$.
Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию — 5.
Представим правую часть в виде степени с основанием 5:
$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}} = 5^{1.5}$.
Теперь неравенство имеет вид:
$5^{x^2 + 3x + 1.5} < 5^{1.5}$.
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 3x + 1.5 < 1.5$.
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$x^2 + 3x + 1.5 - 1.5 < 0$
$x^2 + 3x < 0$.
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 3x = 0$:
$x(x + 3) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 + 3x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-3 < x < 0$.
В виде интервала это записывается как $(-3; 0)$.
Ответ: $(-3; 0)$.

2)

Дано показательное неравенство: $0.2^{x^2 - 6x + 7} \ge 1$.
Приведем обе части неравенства к одному основанию — 0.2.
Представим 1 в виде степени с основанием 0.2:
$1 = 0.2^0$.
Теперь неравенство имеет вид:
$0.2^{x^2 - 6x + 7} \ge 0.2^0$.
Так как основание степени $0.2$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 6x + 7 \le 0$.
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 7 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.
$x_1 = 3 - \sqrt{2}$, $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.
Графиком функции $y = x^2 - 6x + 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $3 - \sqrt{2} \le x \le 3 + \sqrt{2}$.
В виде отрезка это записывается как $[3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}]$.
Ответ: $[3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}]$.