Номер 906, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 906, страница 333.

Условие.

906.1)

$3^{x+1} \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} \ge \sqrt[3]{3}$;

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} < 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное неравенство: $3^{x+1} \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} \ge \sqrt[3]{3}$.
Для решения данного показательного неравенства необходимо привести все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3.
Представим $9$ и $\sqrt[3]{3}$ в виде степени с основанием 3:
$9 = 3^2$
$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$3^{x+1} \cdot (3^2)^{x-\frac{1}{2}} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ к выражению $(3^2)^{x-\frac{1}{2}}$:
$3^{x+1} \cdot 3^{2(x-\frac{1}{2})} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
$3^{x+1} \cdot 3^{2x-1} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{(x+1) + (2x-1)} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
$3^{3x} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$3x \ge \frac{1}{3}$
Разделим обе части неравенства на 3, чтобы найти $x$:
$x \ge \frac{1}{9}$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, большие или равные $\frac{1}{9}$.
Ответ: $[\frac{1}{9}, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $3^{x+1} + 3^{x-1} < 10$.
Для решения этого неравенства преобразуем его левую часть, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$.
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x$
Подставим полученные выражения в неравенство:
$3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x < 10$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 + \frac{1}{3}) < 10$
Упростим выражение в скобках:
$3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
Неравенство примет вид:
$3^x \cdot \frac{10}{3} < 10$
Чтобы найти $3^x$, разделим обе части неравенства на $\frac{10}{3}$. Так как $\frac{10}{3} > 0$, знак неравенства не изменится:
$3^x < 10 \cdot \frac{3}{10}$
$3^x < 3$
Представим число 3 в правой части как степень с основанием 3:
$3^x < 3^1$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знак неравенства:
$x < 1$
Решением неравенства являются все числа, меньшие 1.
Ответ: $(-\infty, 1)$.