Номер 901, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 901, страница 333.

Условие.

901. При каком наименьшем целом значении x выражение $ \frac{x^2 - x - 6}{-7 - x^2} $ принимает положительное значение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы выражение $\frac{x^2-x-6}{-7-x^2}$ принимало положительное значение, необходимо, чтобы его числитель и знаменатель имели одинаковые знаки. Это эквивалентно решению неравенства:

$\frac{x^2-x-6}{-7-x^2} > 0$

Проанализируем знак знаменателя $-7-x^2$.

Для любого действительного значения $x$, квадрат этого числа $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Прибавив 7 к обеим частям, получим $x^2+7 \ge 7$.

Знаменатель можно представить в виде $-(x^2+7)$. Так как $x^2+7$ всегда положительно, то знаменатель $-(x^2+7)$ всегда будет отрицательным.

Поскольку знаменатель дроби всегда отрицателен, для того чтобы вся дробь была положительной, ее числитель также должен быть отрицательным. Таким образом, задача сводится к решению неравенства:

$x^2-x-6 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2-x-6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2-x-6$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства $x^2-x-6 < 0$ есть интервал $(-2; 3)$.

По условию задачи требуется найти наименьшее целое значение $x$, которое удовлетворяет этому условию. Перечислим все целые числа, входящие в интервал $(-2; 3)$: -1, 0, 1, 2.

Наименьшим из этих целых чисел является -1.

Ответ: -1