Номер 894, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 894, страница 332.

Условие.

894. 1) $|2x - 3| < x;$

2) $|4 - x| > x;$

3) $|x^2 - 7x + 12| \le 6;$

4) $|x^2 - 3x - 4| > 6;$

5) $|2x^2 - x - 1| \ge 5;$

6) $|3x^2 - x - 4| < 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $|2x - 3| < x$

Данное неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, так как модуль числа всегда неотрицателен, правая часть неравенства должна быть строго больше нуля, чтобы неравенство имело решение: $x > 0$.

Неравенство вида $|a| < b$ эквивалентно двойному неравенству $-b < a < b$. Применяя это правило, получаем:

$-x < 2x - 3 < x$

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух линейных неравенств:

$\begin{cases} 2x - 3 < x \\ 2x - 3 > -x \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$2x - x < 3$

$x < 3$

Решим второе неравенство:

$2x + x > 3$

$3x > 3$

$x > 1$

Теперь объединим все условия: $x > 0$, $x < 3$ и $x > 1$. Пересечением этих трех условий является интервал $1 < x < 3$.

Ответ: $(1; 3)$.

2) $|4 - x| > x$

Неравенство вида $|a| > b$ эквивалентно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$. Применяя это правило, получаем:

$4 - x > x$ или $4 - x < -x$

Решим первое неравенство:

$4 > x + x$

$4 > 2x$

$2 > x$, или $x < 2$

Решим второе неравенство:

$4 - x < -x$

$4 < 0$

Это неравенство неверно и не имеет решений.

Решением исходного неравенства является объединение решений двух рассмотренных случаев. Так как второй случай не дал решений, итоговым решением будет решение первого случая.

Ответ: $(-\infty; 2)$.

3) $|x^2 - 7x + 12| \leq 6$

Неравенство вида $|a| \leq b$ эквивалентно двойному неравенству $-b \leq a \leq b$. Таким образом, получаем:

$-6 \leq x^2 - 7x + 12 \leq 6$

Это двойное неравенство представляет собой систему из двух квадратных неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 7x + 12 \leq 6 \\ x^2 - 7x + 12 \geq -6 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 - 7x + 6 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 6$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x + 6$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $1 \leq x \leq 6$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 7x + 18 \geq 0$

Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 7x + 18 = 0$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 49 - 72 = -23$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 18$ положителен при любых значениях $x$. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $[1; 6] \cap (-\infty; +\infty)$, что дает $[1; 6]$.

Ответ: $[1; 6]$.

4) $|x^2 - 3x - 4| > 6$

Неравенство вида $|a| > b$ эквивалентно совокупности $a > b$ или $a < -b$. Получаем:

$x^2 - 3x - 4 > 6$ или $x^2 - 3x - 4 < -6$

Решим первое неравенство:

$x^2 - 3x - 10 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x < -2$ или $x > 5$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $1 < x < 2$.

Общее решение - это объединение решений обоих неравенств.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (1; 2) \cup (5; +\infty)$.

5) $|2x^2 - x - 1| \geq 5$

Неравенство вида $|a| \geq b$ эквивалентно совокупности $a \geq b$ или $a \leq -b$. Получаем:

$2x^2 - x - 1 \geq 5$ или $2x^2 - x - 1 \leq -5$

Решим первое неравенство:

$2x^2 - x - 6 \geq 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$. Получаем $x_1 = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{8}{4} = 2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \leq -\frac{3}{2}$ или $x \geq 2$.

Решим второе неравенство:

$2x^2 - x + 4 \leq 0$

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - x + 4 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 1 - 32 = -31$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, трехчлен $2x^2 - x + 4$ всегда положителен, и неравенство $2x^2 - x + 4 \leq 0$ не имеет решений.

Объединяя решения, получаем решение только из первого случая.

Ответ: $(-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [2; +\infty)$.

6) $|3x^2 - x - 4| < 2$

Неравенство вида $|a| < b$ эквивалентно двойному неравенству $-b < a < b$. Получаем:

$-2 < 3x^2 - x - 4 < 2$

Это эквивалентно системе неравенств:

$\begin{cases} 3x^2 - x - 4 < 2 \\ 3x^2 - x - 4 > -2 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 6 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{1 - \sqrt{73}}{6} < x < \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.

Решим второе неравенство:

$3x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{1 \pm 5}{6}$. Получаем $x_1 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{6}{6} = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x < -\frac{2}{3}$ или $x > 1$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; \frac{1 + \sqrt{73}}{6}) \cap ((-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (1; +\infty))$.

Так как $\frac{1 - \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 - 8.54}{6} \approx -1.26$ и $\frac{1 + \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 + 8.54}{6} \approx 1.59$, а $-\frac{2}{3} \approx -0.67$, то пересечением будут два интервала.

Ответ: $(\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; -\frac{2}{3}) \cup (1; \frac{1 + \sqrt{73}}{6})$.