Номер 887, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 887, страница 332.

Условие.

887. При каких значениях x отрицательна дробь:

1) $\frac{3-2x}{3x-2}$;

2) $\frac{10-4x}{9x+2}$;

3) $\frac{18-7x}{-4x^2-1}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы дробь $\frac{3-2x}{3x-2}$ была отрицательной, ее числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Это равносильно решению неравенства $\frac{3-2x}{3x-2} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3 - 2x = 0$, откуда $2x = 3$ и $x = \frac{3}{2}$.

Нуль знаменателя: $3x - 2 = 0$, откуда $3x = 2$ и $x = \frac{2}{3}$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому это значение мы исключаем из решения (точка выколота).

Отметим точки $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ на числовой оси. Они делят ось на три интервала: $(-\infty; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}; +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале.

На интервале $(-\infty; \frac{2}{3})$, например при $x=0$, имеем $\frac{3-2(0)}{3(0)-2} = \frac{3}{-2} < 0$. Значит, этот интервал является решением.

На интервале $(\frac{2}{3}; \frac{3}{2})$, например при $x=1$, имеем $\frac{3-2(1)}{3(1)-2} = \frac{1}{1} > 0$. Этот интервал не является решением.

На интервале $(\frac{3}{2}; +\infty)$, например при $x=2$, имеем $\frac{3-2(2)}{3(2)-2} = \frac{-1}{4} < 0$. Значит, этот интервал также является решением.

Объединяя найденные интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

2) Найдем значения $x$, при которых дробь $\frac{10-4x}{9x+2}$ отрицательна. Для этого решим неравенство $\frac{10-4x}{9x+2} < 0$.

Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $10 - 4x = 0$, откуда $4x = 10$ и $x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Нуль знаменателя: $9x + 2 = 0$, откуда $9x = -2$ и $x = -\frac{2}{9}$. Это значение исключаем из решения.

Отметим точки $-\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{2}$ на числовой оси. Они делят ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{2}{9})$, $(-\frac{2}{9}; \frac{5}{2})$ и $(\frac{5}{2}; +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале.

На интервале $(-\infty; -\frac{2}{9})$, например при $x=-1$, имеем $\frac{10-4(-1)}{9(-1)+2} = \frac{14}{-7} = -2 < 0$. Интервал является решением.

На интервале $(-\frac{2}{9}; \frac{5}{2})$, например при $x=0$, имеем $\frac{10-4(0)}{9(0)+2} = \frac{10}{2} = 5 > 0$. Интервал не является решением.

На интервале $(\frac{5}{2}; +\infty)$, например при $x=3$, имеем $\frac{10-4(3)}{9(3)+2} = \frac{-2}{29} < 0$. Интервал является решением.

Объединив подходящие интервалы, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{9}) \cup (\frac{5}{2}; +\infty)$.

3) Найдем значения $x$, при которых дробь $\frac{18-7x}{-4x^2-1}$ отрицательна. Для этого необходимо решить неравенство $\frac{18-7x}{-4x^2-1} < 0$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $-4x^2-1$. Мы можем вынести минус за скобки: $-(4x^2+1)$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$ для любого $x$), поэтому $4x^2 \ge 0$, а $4x^2+1 \ge 1$. Это означает, что выражение $4x^2+1$ всегда является положительным числом.

Следовательно, знаменатель $-(4x^2+1)$ всегда отрицателен. Также он никогда не равен нулю, поэтому область определения дроби — все действительные числа.

Дробь с отрицательным знаменателем будет отрицательной в том и только в том случае, если ее числитель будет положительным. Таким образом, исходное неравенство равносильно простому неравенству:

$18 - 7x > 0$

Перенесем $7x$ в правую часть: $18 > 7x$.

Разделим обе части на 7, получим: $\frac{18}{7} > x$, что то же самое, что и $x < \frac{18}{7}$.

Это можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{18}{7})$.