Номер 885, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 885, страница 332.
№885 (с. 332)
Условие. №885 (с. 332)
скриншот условия

885. Найти все значения $a$, при которых уравнение $sin^8 x + cos^8 x = a$ имеет корни, и решить это уравнение.
Решение 1. №885 (с. 332)

Решение 2. №885 (с. 332)


Решение 3. №885 (с. 332)
Найти все значения a, при которых уравнение $\sin^8 x + \cos^8 x = a$ имеет корни
Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда значение параметра $a$ принадлежит множеству значений функции $f(x) = \sin^8 x + \cos^8 x$. Найдем это множество значений.
Для преобразования выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Пусть $s = \sin^2 x$ и $c = \cos^2 x$. Тогда $s+c=1$, и поскольку $s$ и $c$ являются квадратами синуса и косинуса, их значения лежат в отрезке $[0, 1]$.
Исходное уравнение принимает вид $s^4 + c^4 = a$.
Выразим $s^4+c^4$ через $s+c$ и произведение $sc$:
$s^4 + c^4 = (s^2+c^2)^2 - 2s^2c^2 = \left((s+c)^2 - 2sc\right)^2 - 2(sc)^2$.
Подставляя $s+c=1$, получаем:
$a = (1-2sc)^2 - 2(sc)^2 = 1 - 4sc + 4(sc)^2 - 2(sc)^2 = 2(sc)^2 - 4sc + 1$.
Обозначим $t = sc = \sin^2 x \cos^2 x$. Тогда выражение для $a$ становится квадратной функцией от $t$: $a = g(t) = 2t^2 - 4t + 1$.
Найдем область значений переменной $t$:
$t = (\sin x \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.
Поскольку $0 \le \sin^2(2x) \le 1$, то для $t$ справедливо неравенство $0 \le t \le \frac{1}{4}$.
Таким образом, задача сводится к нахождению множества значений функции $g(t) = 2t^2 - 4t + 1$ на отрезке $t \in [0, \frac{1}{4}]$.
Графиком функции $g(t)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины параболы находится по формуле $t_v = -\frac{b}{2a}$:
$t_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.
Вершина параболы $t_v=1$ находится правее отрезка $[0, \frac{1}{4}]$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция $g(t)$ на этом отрезке монотонно убывает. Следовательно, свое наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка ($t=0$), а наименьшее — в правой границе ($t=\frac{1}{4}$).
Вычислим эти значения:
Максимальное значение: $g_{max} = g(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$.
Минимальное значение: $g_{min} = g(\frac{1}{4}) = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{4}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 + 1 = \frac{1}{8}$.
Следовательно, множество значений для $a$, при которых исходное уравнение имеет корни, — это отрезок $[\frac{1}{8}, 1]$.
Ответ: Уравнение имеет корни при $a \in [\frac{1}{8}, 1]$.
Решить это уравнение
Решим уравнение $\sin^8 x + \cos^8 x = a$ для $a \in [\frac{1}{8}, 1]$.
В ходе нахождения допустимых значений $a$ мы свели исходное уравнение к следующему:
$2t^2 - 4t + (1-a) = 0$, где $t = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.
Решим это квадратное уравнение относительно $t$:
$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8(1-a)}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8+8a}}{4} = 1 \pm \frac{2\sqrt{2+2a}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$.
Мы знаем, что $t \in [0, \frac{1}{4}]$. Рассмотрим оба корня. Корень $t_1 = 1 + \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$ очевидно больше, чем $\frac{1}{4}$, так как $\frac{\sqrt{2+2a}}{2} > 0$. Этот корень не подходит.
Корень $t_2 = 1 - \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$. Как мы показали ранее, при $a \in [\frac{1}{8}, 1]$ значения $t_2$ лежат в отрезке $[0, \frac{1}{4}]$, поэтому этот корень является единственным решением для $t$.
Теперь вернемся к переменной $x$:
$\frac{1}{4}\sin^2(2x) = t = 1 - \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$.
Отсюда $\sin^2(2x) = 4 - 2\sqrt{2+2a}$.
Для дальнейшего решения используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:
$\frac{1-\cos(4x)}{2} = 4 - 2\sqrt{2+2a}$.
$1-\cos(4x) = 8 - 4\sqrt{2+2a}$.
$\cos(4x) = 1 - (8 - 4\sqrt{2+2a}) = 4\sqrt{2+2a} - 7$.
Из этого уравнения находим $4x$:
$4x = \pm \arccos(4\sqrt{2+2a} - 7) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделив на 4, получаем окончательное решение для $x$:
$x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4\sqrt{2+2a} - 7) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: При $a \in [\frac{1}{8}, 1]$ решениями уравнения являются $x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4\sqrt{2+2a} - 7) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. При $a \notin [\frac{1}{8}, 1]$ уравнение решений не имеет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 885 расположенного на странице 332 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №885 (с. 332), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.