Номер 885, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 885, страница 332.

Условие.

885. Найти все значения $a$, при которых уравнение $sin^8 x + cos^8 x = a$ имеет корни, и решить это уравнение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Найти все значения a, при которых уравнение $\sin^8 x + \cos^8 x = a$ имеет корни

Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда значение параметра $a$ принадлежит множеству значений функции $f(x) = \sin^8 x + \cos^8 x$. Найдем это множество значений.

Для преобразования выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Пусть $s = \sin^2 x$ и $c = \cos^2 x$. Тогда $s+c=1$, и поскольку $s$ и $c$ являются квадратами синуса и косинуса, их значения лежат в отрезке $[0, 1]$.

Исходное уравнение принимает вид $s^4 + c^4 = a$.

Выразим $s^4+c^4$ через $s+c$ и произведение $sc$:

$s^4 + c^4 = (s^2+c^2)^2 - 2s^2c^2 = \left((s+c)^2 - 2sc\right)^2 - 2(sc)^2$.

Подставляя $s+c=1$, получаем:

$a = (1-2sc)^2 - 2(sc)^2 = 1 - 4sc + 4(sc)^2 - 2(sc)^2 = 2(sc)^2 - 4sc + 1$.

Обозначим $t = sc = \sin^2 x \cos^2 x$. Тогда выражение для $a$ становится квадратной функцией от $t$: $a = g(t) = 2t^2 - 4t + 1$.

Найдем область значений переменной $t$:

$t = (\sin x \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Поскольку $0 \le \sin^2(2x) \le 1$, то для $t$ справедливо неравенство $0 \le t \le \frac{1}{4}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению множества значений функции $g(t) = 2t^2 - 4t + 1$ на отрезке $t \in [0, \frac{1}{4}]$.

Графиком функции $g(t)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины параболы находится по формуле $t_v = -\frac{b}{2a}$:

$t_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.

Вершина параболы $t_v=1$ находится правее отрезка $[0, \frac{1}{4}]$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция $g(t)$ на этом отрезке монотонно убывает. Следовательно, свое наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка ($t=0$), а наименьшее — в правой границе ($t=\frac{1}{4}$).

Вычислим эти значения:

Максимальное значение: $g_{max} = g(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$.

Минимальное значение: $g_{min} = g(\frac{1}{4}) = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{4}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 + 1 = \frac{1}{8}$.

Следовательно, множество значений для $a$, при которых исходное уравнение имеет корни, — это отрезок $[\frac{1}{8}, 1]$.

Ответ: Уравнение имеет корни при $a \in [\frac{1}{8}, 1]$.

Решить это уравнение

Решим уравнение $\sin^8 x + \cos^8 x = a$ для $a \in [\frac{1}{8}, 1]$.

В ходе нахождения допустимых значений $a$ мы свели исходное уравнение к следующему:

$2t^2 - 4t + (1-a) = 0$, где $t = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:

$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8(1-a)}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8+8a}}{4} = 1 \pm \frac{2\sqrt{2+2a}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$.

Мы знаем, что $t \in [0, \frac{1}{4}]$. Рассмотрим оба корня. Корень $t_1 = 1 + \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$ очевидно больше, чем $\frac{1}{4}$, так как $\frac{\sqrt{2+2a}}{2} > 0$. Этот корень не подходит.

Корень $t_2 = 1 - \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$. Как мы показали ранее, при $a \in [\frac{1}{8}, 1]$ значения $t_2$ лежат в отрезке $[0, \frac{1}{4}]$, поэтому этот корень является единственным решением для $t$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

$\frac{1}{4}\sin^2(2x) = t = 1 - \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$.

Отсюда $\sin^2(2x) = 4 - 2\sqrt{2+2a}$.

Для дальнейшего решения используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1-\cos(4x)}{2} = 4 - 2\sqrt{2+2a}$.

$1-\cos(4x) = 8 - 4\sqrt{2+2a}$.

$\cos(4x) = 1 - (8 - 4\sqrt{2+2a}) = 4\sqrt{2+2a} - 7$.

Из этого уравнения находим $4x$:

$4x = \pm \arccos(4\sqrt{2+2a} - 7) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 4, получаем окончательное решение для $x$:

$x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4\sqrt{2+2a} - 7) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: При $a \in [\frac{1}{8}, 1]$ решениями уравнения являются $x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4\sqrt{2+2a} - 7) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. При $a \notin [\frac{1}{8}, 1]$ уравнение решений не имеет.