Номер 878, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 878, страница 331.

Условие.

Решить уравнение (878–881).

878. 1) $\cos\sqrt{2-x^2}. = \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $\sin\frac{5\pi}{4}x = x^2 - 4x + 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $\cos\sqrt{2-x^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 2$
$-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
Теперь решим само уравнение. Пусть $t = \sqrt{2-x^2}$. Уравнение принимает вид $\cos t = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения: $t = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
По определению, $t = \sqrt{2-x^2}$ должно быть неотрицательным. Также, исходя из ОДЗ для $x$, найдем область значений для $t$:
Если $x=0$, то $t = \sqrt{2-0} = \sqrt{2}$.
Если $x=\pm\sqrt{2}$, то $t = \sqrt{2-2} = 0$.
Следовательно, $0 \le t \le \sqrt{2}$.
Теперь нам нужно выбрать такие целые значения $k$, чтобы решения $t = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ попали в отрезок $[0, \sqrt{2}]$.
Приближенные значения: $\pi \approx 3.14159$, $\sqrt{2} \approx 1.414$.
$\frac{\pi}{6} \approx 0.524$.
Рассмотрим случаи:
1. $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=0$, $t = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$. Это значение удовлетворяет условию $0 \le t \le \sqrt{2}$.
При $k \ge 1$, $t$ будет больше $\sqrt{2}$. При $k \le -1$, $t$ будет отрицательным.
2. $t = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
При $k=0$, $t = -\frac{\pi}{6} < 0$, что не подходит.
При $k \ge 1$, $t$ будет больше $\sqrt{2}$. При $k \le -1$, $t$ будет отрицательным.
Таким образом, единственное подходящее значение для $t$ это $t = \frac{\pi}{6}$.
Вернемся к переменной $x$:
$\sqrt{2-x^2} = \frac{\pi}{6}$
Возведем обе части в квадрат:
$2-x^2 = \left(\frac{\pi}{6}\right)^2$
$2-x^2 = \frac{\pi^2}{36}$
$x^2 = 2 - \frac{\pi^2}{36}$
$x^2 = \frac{72 - \pi^2}{36}$
$x = \pm \sqrt{\frac{72 - \pi^2}{36}} = \pm \frac{\sqrt{72 - \pi^2}}{6}$.
Эти значения принадлежат ОДЗ, так как $x^2 = 2 - \frac{\pi^2}{36} < 2$.
Ответ: $x = \pm \frac{\sqrt{72 - \pi^2}}{6}$.

2) Решим уравнение $\sin\frac{5\pi}{4}x = x^2 - 4x + 5$.
Этот тип уравнений решается методом оценки. Оценим левую и правую части уравнения.
1. Левая часть: $\sin\frac{5\pi}{4}x$.
Область значений функции синуса - отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого $x$:
$-1 \le \sin\frac{5\pi}{4}x \le 1$.
2. Правая часть: $x^2 - 4x + 5$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, выделив полный квадрат:
$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
Поскольку $(x - 2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x - 2)^2 + 1$ равно 1 (достигается при $x=2$).
Следовательно, для любого $x$:
$x^2 - 4x + 5 \ge 1$.
Итак, мы имеем:
Левая часть уравнения не превосходит 1, а правая часть не меньше 1. Равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1.
Это эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} \sin\frac{5\pi}{4}x = 1 \\ x^2 - 4x + 5 = 1 \end{cases}$
Решим второе уравнение:
$x^2 - 4x + 5 = 1$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
$x = 2$.
Теперь подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:
$\sin\left(\frac{5\pi}{4} \cdot 2\right) = \sin\left(\frac{10\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
Первое уравнение выполняется. Следовательно, $x=2$ является единственным решением исходного уравнения.
Ответ: $2$.