Номер 874, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 874, страница 331.

Условие.

874. 1) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0;$

2) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0;$

3) $\cos x \cos 3x = -0,5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы применить формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$(\sin 4x + \sin x) + (\sin 3x + \sin 2x) = 0$
Применим формулу к каждой группе:
$2\sin\frac{4x+x}{2}\cos\frac{4x-x}{2} + 2\sin\frac{3x+2x}{2}\cos\frac{3x-2x}{2} = 0$
$2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin\frac{5x}{2}$ за скобки:
$2\sin\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}) = 0$
К выражению в скобках применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$2\sin\frac{5x}{2}(2\cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}) = 0$
$2\sin\frac{5x}{2}(2\cos x \cos\frac{x}{2}) = 0$
$4\sin\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2} = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим три случая:
а) $\sin\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \pi k \implies x = \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
в) $\cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
Все три серии решений являются ответом.
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0$

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$(\cos 4x + \cos x) + (\cos 3x + \cos 2x) = 0$
$2\cos\frac{4x+x}{2}\cos\frac{4x-x}{2} + 2\cos\frac{3x+2x}{2}\cos\frac{3x-2x}{2} = 0$
$2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{3x}{2} + 2\cos\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0$
Вынесем общий множитель $2\cos\frac{5x}{2}$ за скобки:
$2\cos\frac{5x}{2}(\cos\frac{3x}{2} + \cos\frac{x}{2}) = 0$
К выражению в скобках снова применим формулу суммы косинусов:
$2\cos\frac{5x}{2}(2\cos\frac{\frac{3x}{2}+\frac{x}{2}}{2}\cos\frac{\frac{3x}{2}-\frac{x}{2}}{2}) = 0$
$2\cos\frac{5x}{2}(2\cos x \cos\frac{x}{2}) = 0$
$4\cos\frac{5x}{2}\cos x \cos\frac{x}{2} = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
а) $\cos\frac{5x}{2} = 0 \implies \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$
б) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
в) $\cos\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$
Проверим, не является ли одна серия решений подмножеством другой. Решения из серии (в) $x = \pi + 2\pi m$ можно представить в виде $x = \frac{5\pi + 10\pi m}{5} = \frac{\pi(5+10m)}{5}$. Это соответствует серии (а) $x = \frac{\pi(1+2k)}{5}$ при $k = 2+5m$. Таким образом, серия (в) является подмножеством серии (а), и ее можно не включать в ответ отдельно.
Ответ: $x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos x \cos 3x = -0,5$

Перепишем уравнение: $\cos x \cos 3x = -\frac{1}{2}$.
Используем формулу произведения косинусов $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$.
$\frac{1}{2}(\cos(3x-x) + \cos(3x+x)) = -\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 4x) = -\frac{1}{2}$
$\cos 2x + \cos 4x = -1$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$.
$\cos 2x + (2\cos^2 2x - 1) = -1$
$2\cos^2 2x + \cos 2x = 0$
Вынесем $\cos 2x$ за скобки:
$\cos 2x (2\cos 2x + 1) = 0$
Рассмотрим два случая:
а) $\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
б) $2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.