Номер 867, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 867, страница 331.

Условие.

867. 1) $2\cos^2 x + \sin x = 0$;

2) $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано уравнение $2\cos x + \sin x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение первого порядка вида $a\sin x + b\cos x = 0$. Для его решения разделим обе части уравнения на $\cos x$.

Предварительно нужно убедиться, что $\cos x \ne 0$. Если предположить, что $\cos x = 0$, то из исходного уравнения $2\cdot0 + \sin x = 0$ следует, что и $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут одновременно равняться нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \ne 0$, и деление на него является корректным преобразованием.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{2\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$
$2 + \tan x = 0$
$\tan x = -2$

Общее решение для уравнения $\tan x = a$ имеет вид $x = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = -2$, поэтому решение:
$x = \arctan(-2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, можно записать ответ в виде:
$x = -\arctan(2) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

---

2) Дано уравнение $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение первого порядка. Решим его аналогичным способом, разделив обе части на $\cos x$. Как и в предыдущем пункте, $\cos x \ne 0$, поскольку в противном случае и $\sin x$ должен быть равен нулю, что невозможно.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sqrt{3}\cos x}{\cos x} = \frac{0}{\cos x}$
$\tan x + \sqrt{3} = 0$
$\tan x = -\sqrt{3}$

Это табличное значение для тангенса. Общее решение уравнения:
$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем окончательное решение:
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.