Номер 862, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 862, страница 330.

Условие.

862. 1) $3\cos^2 x - 5\cos x - 12 = 0;$

2) $3\tan^2 x - 4\tan x + 5 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано тригонометрическое уравнение: $3\cos^2 x - 5\cos x - 12 = 0$.
Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.
После замены уравнение принимает вид:
$3t^2 - 5t - 12 = 0$.
Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.
Теперь необходимо выполнить обратную замену и проверить, удовлетворяют ли найденные корни ограничению $-1 \le t \le 1$.
1. Для $t_1 = 3$: получаем уравнение $\cos x = 3$. Это уравнение не имеет решений, так как $3 > 1$, что не входит в область значений косинуса.
2. Для $t_2 = -\frac{4}{3}$: получаем уравнение $\cos x = -\frac{4}{3}$. Это уравнение также не имеет решений, так как $-\frac{4}{3} \approx -1.33$, что меньше $-1$ и не входит в область значений косинуса.
Так как ни один из корней квадратного уравнения не удовлетворяет условию замены, исходное тригонометрическое уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

2)

Дано тригонометрическое уравнение: $3\text{tg}^2 x - 4\text{tg} x + 5 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $\text{tg} x$. Введем замену переменной.
Пусть $y = \text{tg} x$. Область значений функции тангенс — это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$, поэтому на переменную $y$ никаких ограничений не накладывается.
После замены получаем квадратное уравнение:
$3y^2 - 4y + 5 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения, чтобы определить наличие у него действительных корней.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$.
Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $3y^2 - 4y + 5 = 0$ не имеет действительных корней.
Это означает, что не существует такого действительного числа $y$, которое бы удовлетворяло этому уравнению. Следовательно, уравнение $y = \text{tg} x$ не может быть решено.
Таким образом, исходное тригонометрическое уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.