Номер 859, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 859, страница 330.

Условие.

859. Решить уравнение $\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$ и указать любой его положительный корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение уравнения

Дано тригонометрическое уравнение: $cos(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$.

Для его решения воспользуемся общей формулой для уравнений вида $cos(t) = a$, которая гласит: $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in Z$).

В нашем уравнении аргумент косинуса $t = 3x - \frac{\pi}{4}$, а значение $a = \frac{1}{2}$.

Найдём арккосинус: $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим найденные значения в общую формулу:

$3x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, сначала выразим $3x$, перенеся $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:

$3x = \frac{\pi}{4} \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Это выражение представляет собой две серии корней. Рассмотрим каждую из них отдельно.

1. Cо знаком плюс:

$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$3x = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} + 2\pi k = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$

Делим обе части на 3:

$x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$

2. Cо знаком минус:

$3x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$3x = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k$

Делим обе части на 3:

$x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$

Ответ: Общее решение уравнения: $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$ и $x = -\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.

Указание положительного корня

Теперь необходимо найти и указать любой положительный корень ($x>0$) из полученных серий решений.

Рассмотрим первую серию корней: $x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi k}{3}$.

Выберем самое простое целое значение для $k$, при котором $x$ будет положительным. Попробуем $k=0$:

$x = \frac{7\pi}{36} + \frac{2\pi \cdot 0}{3} = \frac{7\pi}{36}$

Поскольку $\pi$ является положительным числом, то и $\frac{7\pi}{36}$ будет положительным. Таким образом, мы нашли один из положительных корней.

Ответ: $\frac{7\pi}{36}$.