Номер 853, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 853, страница 330.

Условие.

853. 1) $9 \cdot 4^x + 5 \cdot 6^x = 4 \cdot 9^x;$

2) $\log_2(x^2 - 3) - \log_2(6x - 10) + 1 = 0;$

3) $2\log_2 x - 2\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{\log_2 x};$

4) $\log_x(2x^2 - 3x - 4) = 2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $9 \cdot 4^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot 6^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 9^{\frac{1}{x}}$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что основания степеней можно выразить через 2 и 3: $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $6 = 2 \cdot 3$. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 0$.

Перепишем уравнение в виде:

$9 \cdot (2^2)^{\frac{1}{x}} + 5 \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot (3^2)^{\frac{1}{x}}$

$9 \cdot 2^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot 2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} = 4 \cdot 3^{\frac{2}{x}}$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $9^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{2}{x}}$, что всегда больше нуля, поэтому данное действие является равносильным преобразованием.

$9 \cdot \frac{2^{\frac{2}{x}}}{3^{\frac{2}{x}}} + 5 \cdot \frac{2^{\frac{1}{x}} \cdot 3^{\frac{1}{x}}}{3^{\frac{2}{x}}} = 4 \cdot \frac{3^{\frac{2}{x}}}{3^{\frac{2}{x}}}$

$9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{x}} + 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}}$. Так как основание степени положительное, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$9t^2 + 5t - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1$

$t_2 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной с $t_2 = \frac{4}{9}$:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{4}{9}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{x}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$\frac{1}{x} = 2$

$x = \frac{1}{2}$

Данное значение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

2) $\log_2(x^2 - 3) - \log_2(6x - 10) + 1 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x^2 - 3 > 0 \\ 6x - 10 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $x^2 > 3$, что означает $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

Из второго неравенства: $6x > 10$, что означает $x > \frac{10}{6}$ или $x > \frac{5}{3}$.

Пересекая эти два условия, и учитывая, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, а $\frac{5}{3} \approx 1.667$, получаем, что ОДЗ: $x > \sqrt{3}$.

Теперь решим уравнение. Перенесем 1 в правую часть и используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_2(x^2 - 3) - \log_2(6x - 10) = -1$

$\log_2\left(\frac{x^2 - 3}{6x - 10}\right) = -1$

По определению логарифма:

$\frac{x^2 - 3}{6x - 10} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Решим полученное уравнение:

$2(x^2 - 3) = 6x - 10$

$2x^2 - 6 = 6x - 10$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

Разделим на 2:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > \sqrt{3}$).

$x_1 = 1$. Так как $1 < \sqrt{3}$, этот корень не входит в ОДЗ.

$x_2 = 2$. Так как $2 > \sqrt{3}$, этот корень является решением.

Ответ: $x = 2$.

3) $2\log_2 x - 2\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{\log_2 x}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным ($x > 0$), а выражение под корнем — неотрицательным ($\log_2 x \ge 0$).

Из $\log_2 x \ge 0$ следует $\log_2 x \ge \log_2 1$, что при основании $2 > 1$ равносильно $x \ge 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ge 1$.

Упростим второй член в левой части уравнения:

$2\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\log_2 2^{-1/2} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \log_2 2 = -1 \cdot 1 = -1$.

Подставим это значение в уравнение:

$2\log_2 x - (-1) = 3\sqrt{\log_2 x}$

$2\log_2 x + 1 = 3\sqrt{\log_2 x}$

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\log_2 x}$. Из ОДЗ ($x \ge 1$) следует, что $\log_2 x \ge 0$, поэтому $t \ge 0$. Тогда $\log_2 x = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$2t^2 + 1 = 3t$

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену.

Если $t = \frac{1}{2}$, то $\sqrt{\log_2 x} = \frac{1}{2}$. Возводим в квадрат: $\log_2 x = \frac{1}{4}$, откуда $x = 2^{1/4} = \sqrt[4]{2}$.

Если $t = 1$, то $\sqrt{\log_2 x} = 1$. Возводим в квадрат: $\log_2 x = 1$, откуда $x = 2^1 = 2$.

Оба найденных значения $x = \sqrt[4]{2}$ и $x = 2$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 1$).

Ответ: $x_1 = \sqrt[4]{2}, x_2 = 2$.

4) $\log_x (2x^2 - 3x - 4) = 2$

Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице, а аргумент логарифма — строго положительным.

$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ 2x^2 - 3x - 4 > 0 \end{cases}$

Для решения неравенства $2x^2 - 3x - 4 > 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 3x - 4 = 0$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9 + 32 = 41$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$.

Так как парабола $y = 2x^2 - 3x - 4$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $x < \frac{3 - \sqrt{41}}{4}$ и $x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$.

Объединим все условия ОДЗ. Так как $\sqrt{41} \approx 6.4$, то $\frac{3 - \sqrt{41}}{4} < 0$. Условие $x > 0$ отсекает левый интервал. Условие $x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$ ($\approx 2.35$) автоматически удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Итак, ОДЗ: $x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$.

По определению логарифма, $\log_a b = c \iff a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:

$x^2 = 2x^2 - 3x - 4$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$.

$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$, значит, это посторонний корень.

Для $x_1 = 4$ проверим неравенство $4 > \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$.

$16 > 3 + \sqrt{41}$

$13 > \sqrt{41}$

Возведем обе части в квадрат (так как они положительны): $169 > 41$. Неравенство верное.

Следовательно, корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 4$.