Номер 848, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 848, страница 329.

Условие.

848.1) $5^{\log_3 x^2} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0;$

2) $25^{\log_3 x} - 4 \cdot 5^{\log_3 x + 1} = 125.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $5^{\log_3 x^2} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойство логарифма $\log_a (b^c) = c \log_a b$.
$\log_3 x^2 = 2\log_3 x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$5^{2\log_3 x} - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перепишем первое слагаемое:
$5^{2\log_3 x} = (5^{\log_3 x})^2$.
Уравнение принимает вид:
$(5^{\log_3 x})^2 - 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $5^{\log_3 x}$. Сделаем замену: пусть $t = 5^{\log_3 x}$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.
Получаем уравнение:
$t^2 - 6t + 5 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни:
$t_1 = 1$
$t_2 = 5$
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.
1. Если $t_1 = 1$:
$5^{\log_3 x} = 1$
$5^{\log_3 x} = 5^0$
$\log_3 x = 0$
$x = 3^0 = 1$.

2. Если $t_2 = 5$:
$5^{\log_3 x} = 5$
$5^{\log_3 x} = 5^1$
$\log_3 x = 1$
$x = 3^1 = 3$.

Оба найденных значения $x=1$ и $x=3$ удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $1; 3$.

2) $25^{\log_3 x} - 4 \cdot 5^{\log_3 x + 1} = 125$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:
$25^{\log_3 x} = (5^2)^{\log_3 x} = 5^{2\log_3 x} = (5^{\log_3 x})^2$.
$5^{\log_3 x + 1} = 5^{\log_3 x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{\log_3 x}$.
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$(5^{\log_3 x})^2 - 4 \cdot (5 \cdot 5^{\log_3 x}) = 125$
$(5^{\log_3 x})^2 - 20 \cdot 5^{\log_3 x} - 125 = 0$.

Сделаем замену: пусть $y = 5^{\log_3 x}$. Учитывая, что $y$ - это значение показательной функции, $y > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - 20y - 125 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900 = 30^2$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 30}{2} = \frac{50}{2} = 25$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 30}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним.
Остается один корень $y_1 = 25$.

Выполним обратную замену:
$5^{\log_3 x} = 25$
$5^{\log_3 x} = 5^2$
$\log_3 x = 2$
$x = 3^2 = 9$.

Найденный корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $9$.