Номер 845, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 845, страница 329.
№845 (с. 329)
Условие. №845 (с. 329)
скриншот условия

845. 1) $\ln \frac{2}{x+1}=\ln (x+2);$
2) $\log_3\sqrt{3x-6}-\log_3\sqrt{x-3}=1.$
Решение 1. №845 (с. 329)


Решение 2. №845 (с. 329)

Решение 3. №845 (с. 329)
1) $\ln\frac{2}{x+1}=\ln(x+2)$
Для решения логарифмического уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} \frac{2}{x+1} > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$
Из первого неравенства, так как числитель 2 положителен, следует, что знаменатель также должен быть положителен:
$x+1 > 0 \implies x > -1$
Из второго неравенства получаем:
$x+2 > 0 \implies x > -2$
Пересечением этих двух условий является $x > -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1, +\infty)$.
Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$\frac{2}{x+1} = x+2$
Умножим обе части уравнения на $(x+1)$, что допустимо в рамках ОДЗ, так как $x+1 \neq 0$:
$2 = (x+2)(x+1)$
Раскроем скобки в правой части:
$2 = x^2 + x + 2x + 2$
$2 = x^2 + 3x + 2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 + 3x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x+3) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > -1$):
- $x_1 = 0$. Так как $0 > -1$, этот корень подходит.
- $x_2 = -3$. Так как $-3 < -1$, этот корень является посторонним и не входит в ОДЗ.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $0$
2) $\log_3\sqrt{3x-6} - \log_3\sqrt{x-3}=1$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а выражения под корнем — неотрицательными. Объединяя эти условия, получаем, что подкоренные выражения должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 3x-6 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases}$
Решаем систему неравенств:
$\begin{cases} 3x > 6 \\ x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:
$\log_3\frac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{x-3}} = 1$
Используем свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$:
$\log_3\sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 1$
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$:
$\sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 3^1$
$\sqrt{\frac{3(x-2)}{x-3}} = 3$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$\frac{3(x-2)}{x-3} = 9$
Умножим обе части на $(x-3)$, что допустимо в рамках ОДЗ:
$3(x-2) = 9(x-3)$
Раскроем скобки:
$3x - 6 = 9x - 27$
Сгруппируем переменные и свободные члены:
$27 - 6 = 9x - 3x$
$21 = 6x$
$x = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$
Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x > 3$):
$3.5 > 3$, следовательно, корень подходит.
Ответ: $3.5$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 845 расположенного на странице 329 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №845 (с. 329), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.