Номер 845, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 845, страница 329.

Условие.

845. 1) $\ln \frac{2}{x+1}=\ln (x+2);$

2) $\log_3\sqrt{3x-6}-\log_3\sqrt{x-3}=1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\ln\frac{2}{x+1}=\ln(x+2)$

Для решения логарифмического уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} \frac{2}{x+1} > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства, так как числитель 2 положителен, следует, что знаменатель также должен быть положителен:

$x+1 > 0 \implies x > -1$

Из второго неравенства получаем:

$x+2 > 0 \implies x > -2$

Пересечением этих двух условий является $x > -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1, +\infty)$.

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$\frac{2}{x+1} = x+2$

Умножим обе части уравнения на $(x+1)$, что допустимо в рамках ОДЗ, так как $x+1 \neq 0$:

$2 = (x+2)(x+1)$

Раскроем скобки в правой части:

$2 = x^2 + x + 2x + 2$

$2 = x^2 + 3x + 2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x+3) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > -1$):

• $x_1 = 0$. Так как $0 > -1$, этот корень подходит.
• $x_2 = -3$. Так как $-3 < -1$, этот корень является посторонним и не входит в ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $0$

2) $\log_3\sqrt{3x-6} - \log_3\sqrt{x-3}=1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а выражения под корнем — неотрицательными. Объединяя эти условия, получаем, что подкоренные выражения должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 3x-6 > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases}$

Решаем систему неравенств:

$\begin{cases} 3x > 6 \\ x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_3\frac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{x-3}} = 1$

Используем свойство корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\log_3\sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 1$

По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$:

$\sqrt{\frac{3x-6}{x-3}} = 3^1$

$\sqrt{\frac{3(x-2)}{x-3}} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{3(x-2)}{x-3} = 9$

Умножим обе части на $(x-3)$, что допустимо в рамках ОДЗ:

$3(x-2) = 9(x-3)$

Раскроем скобки:

$3x - 6 = 9x - 27$

Сгруппируем переменные и свободные члены:

$27 - 6 = 9x - 3x$

$21 = 6x$

$x = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ ($x > 3$):

$3.5 > 3$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $3.5$