Номер 850, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 850, страница 329.
№850 (с. 329)
Условие. №850 (с. 329)
скриншот условия

850. 1) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0;$
2) $5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3}.$
Решение 1. №850 (с. 329)


Решение 2. №850 (с. 329)


Решение 3. №850 (с. 329)
1) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0$
Данное уравнение является показательным. Заметим, что основания степеней $4$, $14$ и $49$ можно выразить через простые множители $2$ и $7$:
$4 = 2^2$
$14 = 2 \cdot 7$
$49 = 7^2$
Подставим эти значения в исходное уравнение: $7 \cdot (2^2)^{x^2} - 9 \cdot (2 \cdot 7)^{x^2} + 2 \cdot (7^2)^{x^2} = 0$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $7 \cdot 2^{2x^2} - 9 \cdot 2^{x^2} \cdot 7^{x^2} + 2 \cdot 7^{2x^2} = 0$
Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $49^{x^2} = 7^{2x^2}$, которое всегда положительно и не равно нулю: $7 \cdot \frac{2^{2x^2}}{7^{2x^2}} - 9 \cdot \frac{2^{x^2} \cdot 7^{x^2}}{7^{2x^2}} + 2 \cdot \frac{7^{2x^2}}{7^{2x^2}} = 0$
Упростим выражение: $7 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{2x^2} - 9 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} + 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $0 < \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} \le \left(\frac{2}{7}\right)^0 = 1$. Следовательно, $0 < t \le 1$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $7t^2 - 9t + 2 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25 = 5^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$
Оба корня удовлетворяют условию $0 < t \le 1$. Вернемся к исходной переменной $x$.
Случай 1: $t_1 = 1$ $\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = 1$
$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^0$
$x^2 = 0$
$x = 0$
Случай 2: $t_2 = \frac{2}{7}$ $\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \frac{2}{7}$
$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^1$
$x^2 = 1$
$x = 1$ или $x = -1$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $-1; 0; 1$.
2) $5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3}$
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения: $5^{x+4} - 4 \cdot 5^{x+3} = 4^{x+4} - 3 \cdot 4^{x+3}$
Воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель за скобки в каждой части уравнения. В левой части вынесем $5^{x+3}$: $5^{x+3} \cdot 5^1 - 4 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+3} (5 - 4) = 5^{x+3} \cdot 1 = 5^{x+3}$
В правой части вынесем $4^{x+3}$: $4^{x+3} \cdot 4^1 - 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+3} (4 - 3) = 4^{x+3} \cdot 1 = 4^{x+3}$
После упрощения уравнение принимает вид: $5^{x+3} = 4^{x+3}$
Поскольку основания степеней $5$ и $4$ различны, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю. Другой способ — разделить обе части уравнения на $4^{x+3}$ (это выражение никогда не равно нулю): $\frac{5^{x+3}}{4^{x+3}} = 1$
Используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$, получаем: $\left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = 1$
Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, запишем $1$ как $\left(\frac{5}{4}\right)^0$: $\left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = \left(\frac{5}{4}\right)^0$
Приравниваем показатели степеней: $x + 3 = 0$
$x = -3$
Ответ: $-3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 850 расположенного на странице 329 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №850 (с. 329), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.