Номер 850, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 850, страница 329.

Условие.

850. 1) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0;$

2) $5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $7 \cdot 4^{x^2} - 9 \cdot 14^{x^2} + 2 \cdot 49^{x^2} = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что основания степеней $4$, $14$ и $49$ можно выразить через простые множители $2$ и $7$:
$4 = 2^2$
$14 = 2 \cdot 7$
$49 = 7^2$

Подставим эти значения в исходное уравнение: $7 \cdot (2^2)^{x^2} - 9 \cdot (2 \cdot 7)^{x^2} + 2 \cdot (7^2)^{x^2} = 0$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $7 \cdot 2^{2x^2} - 9 \cdot 2^{x^2} \cdot 7^{x^2} + 2 \cdot 7^{2x^2} = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $49^{x^2} = 7^{2x^2}$, которое всегда положительно и не равно нулю: $7 \cdot \frac{2^{2x^2}}{7^{2x^2}} - 9 \cdot \frac{2^{x^2} \cdot 7^{x^2}}{7^{2x^2}} + 2 \cdot \frac{7^{2x^2}}{7^{2x^2}} = 0$

Упростим выражение: $7 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{2x^2} - 9 \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2}$. Так как $x^2 \ge 0$, то $0 < \left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} \le \left(\frac{2}{7}\right)^0 = 1$. Следовательно, $0 < t \le 1$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $7t^2 - 9t + 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25 = 5^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

Оба корня удовлетворяют условию $0 < t \le 1$. Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $t_1 = 1$ $\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = 1$
$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^0$
$x^2 = 0$
$x = 0$

Случай 2: $t_2 = \frac{2}{7}$ $\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \frac{2}{7}$
$\left(\frac{2}{7}\right)^{x^2} = \left(\frac{2}{7}\right)^1$
$x^2 = 1$
$x = 1$ или $x = -1$

Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $-1; 0; 1$.

---

2) $5^{x+4} + 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+4} + 4 \cdot 5^{x+3}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения: $5^{x+4} - 4 \cdot 5^{x+3} = 4^{x+4} - 3 \cdot 4^{x+3}$

Воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем общий множитель за скобки в каждой части уравнения. В левой части вынесем $5^{x+3}$: $5^{x+3} \cdot 5^1 - 4 \cdot 5^{x+3} = 5^{x+3} (5 - 4) = 5^{x+3} \cdot 1 = 5^{x+3}$

В правой части вынесем $4^{x+3}$: $4^{x+3} \cdot 4^1 - 3 \cdot 4^{x+3} = 4^{x+3} (4 - 3) = 4^{x+3} \cdot 1 = 4^{x+3}$

После упрощения уравнение принимает вид: $5^{x+3} = 4^{x+3}$

Поскольку основания степеней $5$ и $4$ различны, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю. Другой способ — разделить обе части уравнения на $4^{x+3}$ (это выражение никогда не равно нулю): $\frac{5^{x+3}}{4^{x+3}} = 1$

Используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$, получаем: $\left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, запишем $1$ как $\left(\frac{5}{4}\right)^0$: $\left(\frac{5}{4}\right)^{x+3} = \left(\frac{5}{4}\right)^0$

Приравниваем показатели степеней: $x + 3 = 0$
$x = -3$

Ответ: $-3$.