Номер 856, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 856, страница 330.

Условие.

856. 1) $\log_{\sqrt{6}}\text{ctg}x = 1 + \log_6\left(\frac{3}{2} - \cos2x\right);$

2) $\log_{27}\left(\sin2x - \frac{1}{3}\cos x\right) = \frac{1}{3} + \log_3(-\cos x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное уравнение: $\log_{\sqrt{6}} \ctg x = 1 + \log_6 (\frac{3}{2} - \cos 2x)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$ \begin{cases} \ctg x > 0 \\ \frac{3}{2} - \cos 2x > 0 \end{cases} $

Первое неравенство $\ctg x > 0$ выполняется, когда $x$ находится в первой или третьей координатной четверти, то есть $x \in (k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Второе неравенство $\cos 2x < \frac{3}{2}$ выполняется для любых действительных $x$, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in (k\pi, k\pi + \frac{\pi}{2})$, $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение, приведя логарифмы к одному основанию 6. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и свойство логарифма степени $\log_a (b^p) = p \log_a b$.

$\log_{\sqrt{6}} \ctg x = \frac{\log_6 \ctg x}{\log_6 \sqrt{6}} = \frac{\log_6 \ctg x}{\log_6 6^{1/2}} = \frac{\log_6 \ctg x}{1/2} = 2\log_6 \ctg x = \log_6 (\ctg^2 x)$.

Представим $1$ как $\log_6 6$. Уравнение принимает вид:

$\log_6 (\ctg^2 x) = \log_6 6 + \log_6 (\frac{3}{2} - \cos 2x)$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, получаем:

$\log_6 (\ctg^2 x) = \log_6 (6 \cdot (\frac{3}{2} - \cos 2x))$

$\log_6 (\ctg^2 x) = \log_6 (9 - 6\cos 2x)$

Так как логарифмическая функция является монотонной, приравниваем аргументы логарифмов:

$\ctg^2 x = 9 - 6\cos 2x$

Используем тригонометрическую формулу, связывающую котангенс и косинус двойного угла: $\ctg^2 x = \frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x}$.

$\frac{1+\cos 2x}{1-\cos 2x} = 9 - 6\cos 2x$

Сделаем замену $y = \cos 2x$. Из ОДЗ следует, что $\ctg x$ определен, значит $\sin x \neq 0$, что эквивалентно $\cos 2x \neq 1$. Итак, $y \neq 1$.

$\frac{1+y}{1-y} = 9 - 6y$

$1+y = (9 - 6y)(1-y)$

$1+y = 9 - 9y - 6y + 6y^2$

$6y^2 - 16y + 8 = 0$

Разделим на 2: $3y^2 - 8y + 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{8 \pm 4}{6}$

$y_1 = \frac{8+4}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$y_2 = \frac{8-4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Возвращаемся к замене $\cos 2x = y$.

$\cos 2x = 2$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\cos \alpha| \le 1$.

$\cos 2x = \frac{2}{3}$. Это значение удовлетворяет условию $|\cos 2x| \le 1$.

Решаем уравнение $\cos 2x = \frac{2}{3}$:

$2x = \pm \arccos(\frac{2}{3}) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Проверим полученные серии решений на соответствие ОДЗ ($\ctg x > 0$).

1) $x = \frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) + k\pi$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, то $0 < \arccos(\frac{2}{3}) < \frac{\pi}{2}$, и $0 < \frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) < \frac{\pi}{4}$. Этот угол находится в первой четверти. Прибавление $k\pi$ перемещает угол в первую (при четных $k$) или третью (при нечетных $k$) четверть. В обоих случаях $\ctg x > 0$. Эта серия решений полностью подходит.

2) $x = -\frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) + k\pi$. Угол $-\frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3})$ находится в четвертой четверти. Прибавление $k\pi$ перемещает угол в четвертую (при четных $k$) или вторую (при нечетных $k$) четверть. В обоих случаях $\ctg x < 0$. Эта серия решений не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arccos(\frac{2}{3}) + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $\log_{27} (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \frac{1}{3} + \log_3 (-\cos x)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} \sin 2x - \frac{1}{3} \cos x > 0 \\ -\cos x > 0 \end{cases} $

Из второго неравенства следует $\cos x < 0$, что соответствует углам во второй и третьей четвертях.

Преобразуем первое неравенство: $2\sin x \cos x - \frac{1}{3} \cos x > 0$, что равносильно $\cos x (2\sin x - \frac{1}{3}) > 0$.

Так как по ОДЗ $\cos x < 0$, то для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным: $2\sin x - \frac{1}{3} < 0 \implies \sin x < \frac{1}{6}$.

Итак, ОДЗ определяется системой: $\begin{cases} \cos x < 0 \\ \sin x < 1/6 \end{cases}$.

Преобразуем левую часть уравнения, приведя логарифм к основанию 3:

$\log_{27} (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \log_{3^3} (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \frac{1}{3}\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x)$.

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{1}{3}\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \frac{1}{3} + \log_3 (-\cos x)$

Умножим обе части уравнения на 3:

$\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = 1 + 3\log_3 (-\cos x)$

Применим свойства логарифмов $1 = \log_3 3$ и $p\log_a b = \log_a(b^p)$:

$\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \log_3 3 + \log_3 ((-\cos x)^3)$

$\log_3 (\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x) = \log_3 (3 \cdot (-\cos^3 x))$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\sin 2x - \frac{1}{3} \cos x = -3\cos^3 x$

Заменяем $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - \frac{1}{3} \cos x = -3\cos^3 x$

Поскольку из ОДЗ $\cos x \neq 0$, разделим обе части на $\cos x$:

$2\sin x - \frac{1}{3} = -3\cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$:

$2\sin x - \frac{1}{3} = -3(1 - \sin^2 x)$

$2\sin x - \frac{1}{3} = -3 + 3\sin^2 x$

Приведем к квадратному уравнению относительно $\sin x$:

$3\sin^2 x - 2\sin x - 3 + \frac{1}{3} = 0$

$3\sin^2 x - 2\sin x - \frac{8}{3} = 0$

Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби: $9\sin^2 x - 6\sin x - 8 = 0$.

Сделаем замену $u = \sin x$ и решим квадратное уравнение $9u^2 - 6u - 8 = 0$:

$u_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-8)}}{2 \cdot 9} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 288}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{18} = \frac{6 \pm 18}{18}$

$u_1 = \frac{6+18}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$

$u_2 = \frac{6-18}{18} = \frac{-12}{18} = -\frac{2}{3}$

Возвращаемся к замене $\sin x = u$.

$\sin x = \frac{4}{3}$ - это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.

$\sin x = -\frac{2}{3}$. Проверим это решение на соответствие ОДЗ: $\cos x < 0$ и $\sin x < 1/6$.

Значение $\sin x = -2/3$ удовлетворяет условию $\sin x < 1/6$.

Условия $\sin x = -2/3 < 0$ и $\cos x < 0$ одновременно выполняются только для углов в третьей четверти.

Найдём общее решение для $x$. Уравнение $\sin x = -2/3$ имеет две серии решений. Нам нужна та, которая соответствует третьей четверти.

$x = \pi - \arcsin(-2/3) + 2k\pi = \pi + \arcsin(2/3) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + \arcsin(\frac{2}{3}) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.