Номер 857, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 857, страница 330.

Условие.

857. 1) $\log_3(\sin 3x - \sin x) = 2\log_9(17\sin 2x) - 1;$

2) $\log_{\sqrt{7}}(\sin x - \cos x) + 1 = \log_7(7 + 3\cos 4x).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное уравнение: $ \log_3(\sin 3x - \sin x) = 2\log_9(17\sin 2x) - 1 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $ \begin{cases} \sin 3x - \sin x > 0 \\ 17\sin 2x > 0 \end{cases} $

Преобразуем первое неравенство, используя формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $: $ \sin 3x - \sin x = 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 2\sin x \cos 2x > 0 $.

Второе неравенство: $ \sin 2x > 0 $. Используя формулу синуса двойного угла, получаем $ 2\sin x \cos x > 0 $. Это означает, что $ \sin x $ и $ \cos x $ должны иметь одинаковые знаки (т.е. $ x $ находится в I или III координатной четверти).

Совместим условия:

• Если $ \sin x > 0 $ и $ \cos x > 0 $ (I четверть), то из $ 2\sin x \cos 2x > 0 $ следует $ \cos 2x > 0 $.
• Если $ \sin x < 0 $ и $ \cos x < 0 $ (III четверть), то из $ 2\sin x \cos 2x > 0 $ следует $ \cos 2x < 0 $.

Теперь преобразуем само уравнение. Приведем все логарифмы к основанию 3. Используем свойство логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b $: $ 2\log_9(17\sin 2x) = 2\log_{3^2}(17\sin 2x) = 2 \cdot \frac{1}{2}\log_3(17\sin 2x) = \log_3(17\sin 2x) $. Также представим $ 1 $ как $ \log_3 3 $.

Уравнение принимает вид: $ \log_3(\sin 3x - \sin x) = \log_3(17\sin 2x) - \log_3 3 $. Используя свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a(b/c) $: $ \log_3(\sin 3x - \sin x) = \log_3\left(\frac{17\sin 2x}{3}\right) $. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $ \sin 3x - \sin x = \frac{17\sin 2x}{3} $.

Подставим преобразованные выражения для синусов: $ 2\sin x \cos 2x = \frac{17(2\sin x \cos x)}{3} $. По ОДЗ, $ \sin 2x > 0 $, следовательно $ \sin x \neq 0 $. Мы можем разделить обе части уравнения на $ 2\sin x $: $ \cos 2x = \frac{17\cos x}{3} $. Применим формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $: $ 2\cos^2 x - 1 = \frac{17\cos x}{3} $. Сделаем замену $ t = \cos x $, где $ |t| \le 1 $: $ 2t^2 - 1 = \frac{17t}{3} $ $ 6t^2 - 3 = 17t $ $ 6t^2 - 17t - 3 = 0 $.

Решим квадратное уравнение относительно $ t $: $ D = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 289 + 72 = 361 = 19^2 $. $ t_1 = \frac{17 + 19}{12} = \frac{36}{12} = 3 $. Этот корень не подходит, так как $ |\cos x| \le 1 $. $ t_2 = \frac{17 - 19}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} $.

Итак, мы получили $ \cos x = -\frac{1}{6} $. Проверим это решение на соответствие ОДЗ. Так как $ \cos x < 0 $, мы должны рассматривать случай, когда $ \sin x < 0 $ и $ \cos 2x < 0 $. Проверим $ \cos 2x $: $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(-\frac{1}{6})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{36} - 1 = \frac{1}{18} - 1 = -\frac{17}{18} < 0 $. Условие выполняется. Условия $ \cos x < 0 $ и $ \sin x < 0 $ означают, что угол $ x $ должен находиться в III четверти. Общее решение уравнения $ \cos x = -1/6 $ имеет вид $ x = \pm\arccos(-1/6) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Значение $ x = \arccos(-1/6) $ соответствует углу во II четверти, а $ x = -\arccos(-1/6) $ — углу в III четверти. Следовательно, нам подходят только решения из второй серии.

Ответ: $ x = -\arccos(-\frac{1}{6}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Исходное уравнение: $ \log_{\sqrt{7}}(\sin x - \cos x) + 1 = \log_7(7+3\cos 4x) $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} \sin x - \cos x > 0 \\ 7+3\cos 4x > 0 \end{cases} $

Рассмотрим второе неравенство. Так как минимальное значение $ \cos 4x $ равно -1, то $ 7+3\cos 4x \ge 7+3(-1) = 4 > 0 $. Таким образом, это неравенство выполняется для любых $ x $. Остается только первое условие: $ \sin x - \cos x > 0 $.

Преобразуем уравнение, приведя логарифмы к основанию 7: $ \log_{\sqrt{7}}(\sin x - \cos x) = \log_{7^{1/2}}(\sin x - \cos x) = 2\log_7(\sin x - \cos x) = \log_7\left((\sin x - \cos x)^2\right) $. Представим $ 1 $ как $ \log_7 7 $. Уравнение примет вид: $ \log_7\left((\sin x - \cos x)^2\right) + \log_7 7 = \log_7(7+3\cos 4x) $. Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $: $ \log_7\left(7(\sin x - \cos x)^2\right) = \log_7(7+3\cos 4x) $. Приравниваем аргументы логарифмов: $ 7(\sin x - \cos x)^2 = 7+3\cos 4x $.

Раскроем скобки, используя формулу $ (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x $: $ 7(1 - \sin 2x) = 7+3\cos 4x $. $ 7 - 7\sin 2x = 7+3\cos 4x $. $ -7\sin 2x = 3\cos 4x $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x $: $ -7\sin 2x = 3(1 - 2\sin^2 2x) $. $ 6\sin^2 2x - 7\sin 2x - 3 = 0 $. Сделаем замену $ y = \sin 2x $, где $ |y| \le 1 $: $ 6y^2 - 7y - 3 = 0 $.

Решим квадратное уравнение: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $. $ y_1 = \frac{7 + 11}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $. Этот корень не подходит, так как $ |\sin 2x| \le 1 $. $ y_2 = \frac{7 - 11}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} $. Таким образом, $ \sin 2x = -\frac{1}{3} $.

Теперь вернемся к выражению $ (\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x $. Подставим найденное значение $ \sin 2x $: $ (\sin x - \cos x)^2 = 1 - (-\frac{1}{3}) = \frac{4}{3} $. Отсюда $ \sin x - \cos x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} $. По ОДЗ нам требуется $ \sin x - \cos x > 0 $, поэтому выбираем значение с плюсом: $ \sin x - \cos x = \frac{2}{\sqrt{3}} $.

Решим это тригонометрическое уравнение. Используем метод введения вспомогательного угла: $ \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \frac{2}{\sqrt{3}} $. $ \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}} $. $ \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}} $. $ \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} $.

Общее решение этого уравнения: $ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $. $ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.