Номер 863, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 863, страница 330.

Условие.

863. 1) $(3 - 4\sin x)(3 + 4\cos x) = 0;$

2) $(\text{tg} x + 3)(\text{tg} x + 1) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное уравнение: $(3 - 4\sin x)(3 + 4\cos x) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $3 - 4\sin x = 0$
2) $3 + 4\cos x = 0$

Решим первое уравнение:
$3 - 4\sin x = 0$
$4\sin x = 3$
$\sin x = \frac{3}{4}$
Поскольку $|\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения. Общий вид решений для $\sin x = a$ таков: $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение:
$3 + 4\cos x = 0$
$4\cos x = -3$
$\cos x = -\frac{3}{4}$
Поскольку $|-\frac{3}{4}| \le 1$, уравнение имеет решения. Общий вид решений для $\cos x = a$ таков: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения обоих уравнений.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \arccos\left(-\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $(\operatorname{tg} x + 3)(\operatorname{tg} x + 1) = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием существования тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений:
1) $\operatorname{tg} x + 3 = 0$
2) $\operatorname{tg} x + 1 = 0$

Решим первое уравнение:
$\operatorname{tg} x + 3 = 0$
$\operatorname{tg} x = -3$
Общее решение: $x = \operatorname{arctg}(-3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности арктангенса, $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем: $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение:
$\operatorname{tg} x + 1 = 0$
$\operatorname{tg} x = -1$
Это табличное значение. Общее решение: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Обе серии корней удовлетворяют ОДЗ, так как для этих значений $x$ тангенс существует. Объединяем полученные решения.
Ответ: $x = -\operatorname{arctg}(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.