Номер 858, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 858, страница 330.

Условие.

858. Найти все решения уравнения, удовлетворяющие данному неравенству:

1) $\sqrt{7 - \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x)} = \log_9(x^2 - 8x)$, $\sin x < \operatorname{tg}2x$;

2) $\sqrt{\log_{\frac{1}{6}}\left(x^2 + \frac{1}{6}x\right) \cdot \log_{36x^2 + 6x}6} = 1$, $\sin x > \operatorname{tg}6x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Сначала решим уравнение $\sqrt{7 - \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x)} = \log_9(x^2 - 8x)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
   • $3x^2 - 24x > 0 \Rightarrow 3x(x-8) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.
   • $x^2 - 8x > 0 \Rightarrow x(x-8) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательно: $7 - \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x) \ge 0 \Rightarrow \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x) \le 7$.
3. Правая часть уравнения должна быть неотрицательна, так как она равна квадратному корню: $\log_9(x^2 - 8x) \ge 0$. Так как основание $9 > 1$, то $x^2 - 8x \ge 9^0 \Rightarrow x^2 - 8x \ge 1$.

Объединяя условия, получаем $x^2 - 8x \ge 1$. Решим это неравенство: $x^2 - 8x - 1 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2-8x-1=0$ равны $x = 4 \pm \sqrt{17}$. Таким образом, $x \in (-\infty, 4-\sqrt{17}] \cup [4+\sqrt{17}, \infty)$. С учетом условия $x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$, ОДЗ остается $x \in (-\infty, 4-\sqrt{17}] \cup [4+\sqrt{17}, \infty)$, поскольку $4-\sqrt{17} < 0$ и $4+\sqrt{17} > 8$.

Преобразуем логарифмы к основанию 3:

$\log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x) = \log_{3^{1/2}}(3(x^2 - 8x)) = 2\log_3(3(x^2-8x)) = 2(\log_3 3 + \log_3(x^2 - 8x)) = 2(1 + \log_3(x^2 - 8x))$.

$\log_9(x^2 - 8x) = \log_{3^2}(x^2 - 8x) = \frac{1}{2}\log_3(x^2 - 8x)$.

Сделаем замену $t = \log_3(x^2 - 8x)$. Из ОДЗ ($x^2 - 8x \ge 1$) следует, что $t = \log_3(x^2-8x) \ge \log_3 1 = 0$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{7 - 2(1+t)} = \frac{1}{2}t$

$\sqrt{5 - 2t} = \frac{1}{2}t$

Возведем обе части в квадрат, учитывая, что $t \ge 0$ и $5-2t \ge 0 \Rightarrow t \le 2.5$. Итак, $t \in [0, 2.5]$.

$5 - 2t = \frac{t^2}{4}$

$20 - 8t = t^2$

$t^2 + 8t - 20 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -10$. Условию $t \in [0, 2.5]$ удовлетворяет только $t=2$.

Вернемся к переменной $x$:

$\log_3(x^2 - 8x) = 2$

$x^2 - 8x = 3^2 = 9$

$x^2 - 8x - 9 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни неравенству $\sin x < \tg 2x$.

Для $x = -1$ (угол в радианах):

$\sin(-1) < \tg(-2) \Rightarrow -\sin 1 < -\tg 2 \Rightarrow \sin 1 > \tg 2$.

Угол $1$ радиан находится в I четверти, поэтому $\sin 1 > 0$. Угол $2$ радиана находится во II четверти, поэтому $\tg 2 < 0$. Неравенство $\sin 1 > \tg 2$ верно, так как положительное число всегда больше отрицательного. Следовательно, $x=-1$ является решением.

Для $x = 9$ (угол в радианах):

$\sin 9 < \tg 18$.

Так как $2\pi \approx 6.28$ и $3\pi \approx 9.42$, угол $9$ радиан находится во II четверти ($9 \in (\frac{5\pi}{2}, 3\pi)$), поэтому $\sin 9 > 0$.

Так как $5\pi \approx 15.7$ и $6\pi \approx 18.84$, угол $18$ радиан находится в IV четверти ($18 \in (\frac{11\pi}{2}, 6\pi)$), поэтому $\tg 18 < 0$.

Неравенство $\sin 9 < \tg 18$ неверно, так как положительное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, $x=9$ не является решением.

Ответ: $x = -1$.

2)

Сначала решим уравнение $\sqrt{\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x)} \cdot \log_{36x^2+6x} 6 = 1$.

Найдем ОДЗ:

1. Выражение под корнем неотрицательно: $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x) \ge 0$. Так как основание $\frac{1}{6} < 1$, то $0 < x^2 + \frac{1}{6}x \le (\frac{1}{6})^0=1$.
   • $x^2 + \frac{1}{6}x > 0 \Rightarrow x(x+\frac{1}{6}) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -1/6) \cup (0, \infty)$.
   • $x^2 + \frac{1}{6}x \le 1 \Rightarrow 6x^2+x-6 \le 0$. Корни $x = \frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$. Значит, $x \in [\frac{-1-\sqrt{145}}{12}, \frac{-1+\sqrt{145}}{12}]$.
   Объединяя, получаем $x \in [\frac{-1-\sqrt{145}}{12}, -\frac{1}{6}) \cup (0, \frac{-1+\sqrt{145}}{12}]$.
2. Основание второго логарифма должно быть положительно и не равно 1: $36x^2+6x > 0$ (это условие уже учтено) и $36x^2+6x \ne 1$. Решим $36x^2+6x-1=0$: $x = \frac{-6\pm\sqrt{36+144}}{72} = \frac{-6\pm\sqrt{180}}{72} = \frac{-6\pm6\sqrt{5}}{72} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{12}$. Эти значения нужно исключить из ОДЗ.

Преобразуем уравнение. Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_{36x^2+6x} 6 = \frac{1}{\log_6(36x^2+6x)}$.

$\sqrt{\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x)} = \log_6(36x^2+6x)$.

Преобразуем левую часть: $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x) = \log_{6^{-1}}(\frac{6x^2+x}{6}) = -\log_6(\frac{6x^2+x}{6}) = -(\log_6(6x^2+x)-\log_6 6) = 1-\log_6(6x^2+x)$.

Преобразуем правую часть: $\log_6(36x^2+6x) = \log_6(6(6x^2+x)) = \log_6 6 + \log_6(6x^2+x) = 1+\log_6(6x^2+x)$.

Сделаем замену $t = \log_6(6x^2+x)$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{1-t} = 1+t$.

Из ОДЗ $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x) \ge 0 \Rightarrow 1-t \ge 0 \Rightarrow t \le 1$. Из уравнения $\sqrt{1-t} = 1+t$ следует $1+t \ge 0 \Rightarrow t \ge -1$. Итого, $t \in [-1, 1]$.

Возведем в квадрат: $1-t = (1+t)^2 \Rightarrow 1-t = 1+2t+t^2 \Rightarrow t^2+3t=0 \Rightarrow t(t+3)=0$.

Корни: $t_1=0$, $t_2=-3$. Условию $t \in [-1, 1]$ удовлетворяет только $t=0$.

Вернемся к $x$: $\log_6(6x^2+x) = 0 \Rightarrow 6x^2+x = 6^0=1 \Rightarrow 6x^2+x-1=0$.

Корни этого уравнения: $x = \frac{-1\pm\sqrt{1-4(6)(-1)}}{12} = \frac{-1\pm 5}{12}$.

$x_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Проверим корни по неравенству $\sin x > \tg 6x$.

Для $x = 1/3$:

$\sin(1/3) > \tg(6 \cdot 1/3) = \tg 2$.

Угол $1/3$ радиана в I четверти, $\sin(1/3)>0$. Угол $2$ радиана во II четверти, $\tg 2 < 0$. Неравенство верно. $x=1/3$ - решение.

Для $x = -1/2$:

$\sin(-1/2) > \tg(6 \cdot (-1/2)) = \tg(-3)$.

$-\sin(1/2) > -\tg 3 \Rightarrow \sin(1/2) < \tg 3$.

Угол $1/2$ радиана в I четверти, $\sin(1/2)>0$. Угол $3$ радиана во II четверти, $\tg 3 < 0$. Неравенство $\sin(1/2) < \tg 3$ неверно. $x=-1/2$ не является решением.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.