Номер 858, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 858, страница 330.

№858 (с. 330)
Условие. №858 (с. 330)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 858, Условие

858. Найти все решения уравнения, удовлетворяющие данному неравенству:

1) $\sqrt{7 - \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x)} = \log_9(x^2 - 8x)$, $\sin x < \operatorname{tg}2x$;

2) $\sqrt{\log_{\frac{1}{6}}\left(x^2 + \frac{1}{6}x\right) \cdot \log_{36x^2 + 6x}6} = 1$, $\sin x > \operatorname{tg}6x$.

Решение 1. №858 (с. 330)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 858, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 858, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №858 (с. 330)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 858, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 330, номер 858, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №858 (с. 330)

1)

Сначала решим уравнение $\sqrt{7 - \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x)} = \log_9(x^2 - 8x)$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

  1. Аргументы логарифмов должны быть положительны:
    • $3x^2 - 24x > 0 \Rightarrow 3x(x-8) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.
    • $x^2 - 8x > 0 \Rightarrow x(x-8) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$.
  2. Выражение под корнем должно быть неотрицательно: $7 - \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x) \ge 0 \Rightarrow \log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x) \le 7$.
  3. Правая часть уравнения должна быть неотрицательна, так как она равна квадратному корню: $\log_9(x^2 - 8x) \ge 0$. Так как основание $9 > 1$, то $x^2 - 8x \ge 9^0 \Rightarrow x^2 - 8x \ge 1$.

Объединяя условия, получаем $x^2 - 8x \ge 1$. Решим это неравенство: $x^2 - 8x - 1 \ge 0$. Корни соответствующего уравнения $x^2-8x-1=0$ равны $x = 4 \pm \sqrt{17}$. Таким образом, $x \in (-\infty, 4-\sqrt{17}] \cup [4+\sqrt{17}, \infty)$. С учетом условия $x \in (-\infty, 0) \cup (8, \infty)$, ОДЗ остается $x \in (-\infty, 4-\sqrt{17}] \cup [4+\sqrt{17}, \infty)$, поскольку $4-\sqrt{17} < 0$ и $4+\sqrt{17} > 8$.

Преобразуем логарифмы к основанию 3:

$\log_{\sqrt{3}}(3x^2 - 24x) = \log_{3^{1/2}}(3(x^2 - 8x)) = 2\log_3(3(x^2-8x)) = 2(\log_3 3 + \log_3(x^2 - 8x)) = 2(1 + \log_3(x^2 - 8x))$.

$\log_9(x^2 - 8x) = \log_{3^2}(x^2 - 8x) = \frac{1}{2}\log_3(x^2 - 8x)$.

Сделаем замену $t = \log_3(x^2 - 8x)$. Из ОДЗ ($x^2 - 8x \ge 1$) следует, что $t = \log_3(x^2-8x) \ge \log_3 1 = 0$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{7 - 2(1+t)} = \frac{1}{2}t$

$\sqrt{5 - 2t} = \frac{1}{2}t$

Возведем обе части в квадрат, учитывая, что $t \ge 0$ и $5-2t \ge 0 \Rightarrow t \le 2.5$. Итак, $t \in [0, 2.5]$.

$5 - 2t = \frac{t^2}{4}$

$20 - 8t = t^2$

$t^2 + 8t - 20 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -10$. Условию $t \in [0, 2.5]$ удовлетворяет только $t=2$.

Вернемся к переменной $x$:

$\log_3(x^2 - 8x) = 2$

$x^2 - 8x = 3^2 = 9$

$x^2 - 8x - 9 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни неравенству $\sin x < \tg 2x$.

Для $x = -1$ (угол в радианах):

$\sin(-1) < \tg(-2) \Rightarrow -\sin 1 < -\tg 2 \Rightarrow \sin 1 > \tg 2$.

Угол $1$ радиан находится в I четверти, поэтому $\sin 1 > 0$. Угол $2$ радиана находится во II четверти, поэтому $\tg 2 < 0$. Неравенство $\sin 1 > \tg 2$ верно, так как положительное число всегда больше отрицательного. Следовательно, $x=-1$ является решением.

Для $x = 9$ (угол в радианах):

$\sin 9 < \tg 18$.

Так как $2\pi \approx 6.28$ и $3\pi \approx 9.42$, угол $9$ радиан находится во II четверти ($9 \in (\frac{5\pi}{2}, 3\pi)$), поэтому $\sin 9 > 0$.

Так как $5\pi \approx 15.7$ и $6\pi \approx 18.84$, угол $18$ радиан находится в IV четверти ($18 \in (\frac{11\pi}{2}, 6\pi)$), поэтому $\tg 18 < 0$.

Неравенство $\sin 9 < \tg 18$ неверно, так как положительное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, $x=9$ не является решением.

Ответ: $x = -1$.

2)

Сначала решим уравнение $\sqrt{\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x)} \cdot \log_{36x^2+6x} 6 = 1$.

Найдем ОДЗ:

  1. Выражение под корнем неотрицательно: $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x) \ge 0$. Так как основание $\frac{1}{6} < 1$, то $0 < x^2 + \frac{1}{6}x \le (\frac{1}{6})^0=1$.
    • $x^2 + \frac{1}{6}x > 0 \Rightarrow x(x+\frac{1}{6}) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -1/6) \cup (0, \infty)$.
    • $x^2 + \frac{1}{6}x \le 1 \Rightarrow 6x^2+x-6 \le 0$. Корни $x = \frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$. Значит, $x \in [\frac{-1-\sqrt{145}}{12}, \frac{-1+\sqrt{145}}{12}]$.
    Объединяя, получаем $x \in [\frac{-1-\sqrt{145}}{12}, -\frac{1}{6}) \cup (0, \frac{-1+\sqrt{145}}{12}]$.
  2. Основание второго логарифма должно быть положительно и не равно 1: $36x^2+6x > 0$ (это условие уже учтено) и $36x^2+6x \ne 1$. Решим $36x^2+6x-1=0$: $x = \frac{-6\pm\sqrt{36+144}}{72} = \frac{-6\pm\sqrt{180}}{72} = \frac{-6\pm6\sqrt{5}}{72} = \frac{-1\pm\sqrt{5}}{12}$. Эти значения нужно исключить из ОДЗ.

Преобразуем уравнение. Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_{36x^2+6x} 6 = \frac{1}{\log_6(36x^2+6x)}$.

$\sqrt{\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x)} = \log_6(36x^2+6x)$.

Преобразуем левую часть: $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x) = \log_{6^{-1}}(\frac{6x^2+x}{6}) = -\log_6(\frac{6x^2+x}{6}) = -(\log_6(6x^2+x)-\log_6 6) = 1-\log_6(6x^2+x)$.

Преобразуем правую часть: $\log_6(36x^2+6x) = \log_6(6(6x^2+x)) = \log_6 6 + \log_6(6x^2+x) = 1+\log_6(6x^2+x)$.

Сделаем замену $t = \log_6(6x^2+x)$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{1-t} = 1+t$.

Из ОДЗ $\log_{\frac{1}{6}}(x^2 + \frac{1}{6}x) \ge 0 \Rightarrow 1-t \ge 0 \Rightarrow t \le 1$. Из уравнения $\sqrt{1-t} = 1+t$ следует $1+t \ge 0 \Rightarrow t \ge -1$. Итого, $t \in [-1, 1]$.

Возведем в квадрат: $1-t = (1+t)^2 \Rightarrow 1-t = 1+2t+t^2 \Rightarrow t^2+3t=0 \Rightarrow t(t+3)=0$.

Корни: $t_1=0$, $t_2=-3$. Условию $t \in [-1, 1]$ удовлетворяет только $t=0$.

Вернемся к $x$: $\log_6(6x^2+x) = 0 \Rightarrow 6x^2+x = 6^0=1 \Rightarrow 6x^2+x-1=0$.

Корни этого уравнения: $x = \frac{-1\pm\sqrt{1-4(6)(-1)}}{12} = \frac{-1\pm 5}{12}$.

$x_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Проверим корни по неравенству $\sin x > \tg 6x$.

Для $x = 1/3$:

$\sin(1/3) > \tg(6 \cdot 1/3) = \tg 2$.

Угол $1/3$ радиана в I четверти, $\sin(1/3)>0$. Угол $2$ радиана во II четверти, $\tg 2 < 0$. Неравенство верно. $x=1/3$ - решение.

Для $x = -1/2$:

$\sin(-1/2) > \tg(6 \cdot (-1/2)) = \tg(-3)$.

$-\sin(1/2) > -\tg 3 \Rightarrow \sin(1/2) < \tg 3$.

Угол $1/2$ радиана в I четверти, $\sin(1/2)>0$. Угол $3$ радиана во II четверти, $\tg 3 < 0$. Неравенство $\sin(1/2) < \tg 3$ неверно. $x=-1/2$ не является решением.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 858 расположенного на странице 330 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №858 (с. 330), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.