Номер 852, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 852, страница 329.

Условие.

852. 1) $x^{1+\lg x} = 10x;$

2) $x^{\lg x} = 100x;$

3) $\log_2(17 - 2^x) + \log_2(2^x + 15) = 8;$

4) $\log_2(3 + 2^x) + \log_2(5 - 2^x) = 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^{1 + \lg x} = 10x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{1 + \lg x}) = \lg(10x)$

Используя свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$ и $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$, получаем:

$(1 + \lg x) \cdot \lg x = \lg 10 + \lg x$

Так как $\lg 10 = 1$, уравнение принимает вид:

$(1 + \lg x) \cdot \lg x = 1 + \lg x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$(1 + \lg x) \cdot \lg x - (1 + \lg x) = 0$

Вынесем общий множитель $(1 + \lg x)$ за скобки:

$(\lg x - 1)(1 + \lg x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $\lg x - 1 = 0 \implies \lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$.

2. $1 + \lg x = 0 \implies \lg x = -1 \implies x_2 = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.1$.

2) $x^{\lg x} = 100x$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(100x)$

Используя свойства логарифмов, получаем:

$(\lg x) \cdot \lg x = \lg 100 + \lg x$

Так как $\lg 100 = \lg(10^2) = 2$, уравнение принимает вид:

$(\lg x)^2 = 2 + \lg x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение становится квадратным:

$t^2 = 2 + t$

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение (например, по теореме Виета):

$t_1 + t_2 = 1$

$t_1 \cdot t_2 = -2$

Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1. $\lg x = 2 \implies x_1 = 10^2 = 100$.

2. $\lg x = -1 \implies x_2 = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 100, x_2 = 0.1$.

3) $\log_2(17 - 2^x) + \log_2(2^x + 15) = 8$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$17 - 2^x > 0 \implies 2^x < 17 \implies x < \log_2 17$

$2^x + 15 > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как $2^x > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x < \log_2 17$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_2((17 - 2^x)(2^x + 15)) = 8$

По определению логарифма:

$(17 - 2^x)(2^x + 15) = 2^8$

$(17 - 2^x)(2^x + 15) = 256$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $t > 0$. Уравнение примет вид:

$(17 - t)(t + 15) = 256$

$17t + 17 \cdot 15 - t^2 - 15t = 256$

$17t + 255 - t^2 - 15t = 256$

$-t^2 + 2t + 255 - 256 = 0$

$-t^2 + 2t - 1 = 0$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

Возвращаемся к замене:

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $x < \log_2 17$.

$0 < \log_2 17$, так как $\log_2 17 \approx 4.087$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 0$.

4) $\log_2(3 + 2^x) + \log_2(5 - 2^x) = 4$

Найдем ОДЗ:

$3 + 2^x > 0$. Выполняется для любого $x$, так как $2^x > 0$.

$5 - 2^x > 0 \implies 2^x < 5 \implies x < \log_2 5$.

ОДЗ: $x < \log_2 5$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_2((3 + 2^x)(5 - 2^x)) = 4$

По определению логарифма:

$(3 + 2^x)(5 - 2^x) = 2^4$

$(3 + 2^x)(5 - 2^x) = 16$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:

$(3 + t)(5 - t) = 16$

$15 - 3t + 5t - t^2 = 16$

$-t^2 + 2t + 15 - 16 = 0$

$-t^2 + 2t - 1 = 0$

$t^2 - 2t + 1 = 0$

$(t-1)^2 = 0$

$t = 1$

Возвращаемся к замене:

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $x < \log_2 5$.

$0 < \log_2 5$, так как $\log_2 5 \approx 2.32$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 0$.