Номер 846, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 846, страница 329.

Условие.

846. 1) $\lg(\frac{1}{2} + x) = \lg \frac{1}{2} - \lg x;$

2) $2\lg x = -\lg \frac{1}{6-x^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное уравнение: $lg(\frac{1}{2} + x) = lg\frac{1}{2} - lgx$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} \frac{1}{2} + x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0 $

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Используем свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a \frac{b}{c}$ для правой части уравнения:

$lg\frac{1}{2} - lgx = lg(\frac{1/2}{x}) = lg\frac{1}{2x}$.

Теперь уравнение принимает вид:

$lg(\frac{1}{2} + x) = lg\frac{1}{2x}$.

Так как основания логарифмов одинаковы (десятичный логарифм), мы можем приравнять их аргументы:

$\frac{1}{2} + x = \frac{1}{2x}$.

Умножим обе части уравнения на $2x$, чтобы избавиться от знаменателей (мы знаем, что $x \neq 0$ из ОДЗ):

$2x(\frac{1}{2} + x) = 2x(\frac{1}{2x})$

$x + 2x^2 = 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).

Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < 0$.

Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{2} > 0$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Исходное уравнение: $2lgx = -lg\frac{1}{6-x^2}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x > 0 \\ \frac{1}{6-x^2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ 6-x^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x^2 < 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} \end{cases} $

Пересечением этих условий является интервал $(0; \sqrt{6})$. Итак, ОДЗ: $x \in (0; \sqrt{6})$.

Преобразуем обе части уравнения, используя свойства логарифмов $n \cdot log_a b = log_a b^n$ и $-log_a b = log_a \frac{1}{b}$.

Левая часть: $2lgx = lg(x^2)$.

Правая часть: $-lg\frac{1}{6-x^2} = lg\left(\left(\frac{1}{6-x^2}\right)^{-1}\right) = lg(6-x^2)$.

Уравнение принимает вид:

$lg(x^2) = lg(6-x^2)$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x^2 = 6 - x^2$.

Решаем полученное уравнение:

$2x^2 = 6$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in (0; \sqrt{6})$).

Корень $x_1 = \sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < \sqrt{3} < \sqrt{6}$ (поскольку $0 < 3 < 6$).

Корень $x_2 = -\sqrt{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.

Ответ: $\sqrt{3}$.