Номер 846, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 846, страница 329.
№846 (с. 329)
Условие. №846 (с. 329)
скриншот условия

846. 1) $\lg(\frac{1}{2} + x) = \lg \frac{1}{2} - \lg x;$
2) $2\lg x = -\lg \frac{1}{6-x^2}.$
Решение 1. №846 (с. 329)


Решение 2. №846 (с. 329)

Решение 3. №846 (с. 329)
1)
Исходное уравнение: $lg(\frac{1}{2} + x) = lg\frac{1}{2} - lgx$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} \frac{1}{2} + x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{1}{2} \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 0 $
Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.
Используем свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a \frac{b}{c}$ для правой части уравнения:
$lg\frac{1}{2} - lgx = lg(\frac{1/2}{x}) = lg\frac{1}{2x}$.
Теперь уравнение принимает вид:
$lg(\frac{1}{2} + x) = lg\frac{1}{2x}$.
Так как основания логарифмов одинаковы (десятичный логарифм), мы можем приравнять их аргументы:
$\frac{1}{2} + x = \frac{1}{2x}$.
Умножим обе части уравнения на $2x$, чтобы избавиться от знаменателей (мы знаем, что $x \neq 0$ из ОДЗ):
$2x(\frac{1}{2} + x) = 2x(\frac{1}{2x})$
$x + 2x^2 = 1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 + x - 1 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 < 0$.
Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{2} > 0$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.
2)
Исходное уравнение: $2lgx = -lg\frac{1}{6-x^2}$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} x > 0 \\ \frac{1}{6-x^2} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ 6-x^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x^2 < 6 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ -\sqrt{6} < x < \sqrt{6} \end{cases} $
Пересечением этих условий является интервал $(0; \sqrt{6})$. Итак, ОДЗ: $x \in (0; \sqrt{6})$.
Преобразуем обе части уравнения, используя свойства логарифмов $n \cdot log_a b = log_a b^n$ и $-log_a b = log_a \frac{1}{b}$.
Левая часть: $2lgx = lg(x^2)$.
Правая часть: $-lg\frac{1}{6-x^2} = lg\left(\left(\frac{1}{6-x^2}\right)^{-1}\right) = lg(6-x^2)$.
Уравнение принимает вид:
$lg(x^2) = lg(6-x^2)$.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$x^2 = 6 - x^2$.
Решаем полученное уравнение:
$2x^2 = 6$
$x^2 = 3$
$x = \pm\sqrt{3}$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in (0; \sqrt{6})$).
Корень $x_1 = \sqrt{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < \sqrt{3} < \sqrt{6}$ (поскольку $0 < 3 < 6$).
Корень $x_2 = -\sqrt{3}$ не удовлетворяет ОДЗ, так как он отрицательный.
Ответ: $\sqrt{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 846 расположенного на странице 329 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №846 (с. 329), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.