Номер 839, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 839, страница 329.
№839 (с. 329)
Условие. №839 (с. 329)
скриншот условия

839. 1) $5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)};$
2) $0.2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = \left(\frac{1}{5}\right)^6.$
Решение 1. №839 (с. 329)


Решение 2. №839 (с. 329)

Решение 3. №839 (с. 329)
1) $5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)}$
Для решения этого показательного уравнения необходимо привести все степени к одинаковым основаниям. Заметим, что $35 = 5 \cdot 7$.
Преобразуем правую часть уравнения:
$35^{\frac{1}{2}(5x+6)} = (5 \cdot 7)^{\frac{1}{2}(5x+6)} = 5^{\frac{1}{2}(5x+6)} \cdot 7^{\frac{1}{2}(5x+6)}$
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 5^{\frac{5x+6}{2}} \cdot 7^{\frac{5x+6}{2}}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $5^{\frac{5x+6}{2}}$ и на $7^{3x+1}$ (эти выражения не равны нулю ни при каких значениях $x$):
$\frac{5^{2x+5}}{5^{\frac{5x+6}{2}}} = \frac{7^{\frac{5x+6}{2}}}{7^{3x+1}}$
Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$5^{(2x+5) - \frac{5x+6}{2}} = 7^{\frac{5x+6}{2} - (3x+1)}$
Упростим выражения в показателях степеней:
Показатель слева: $2x+5 - \frac{5x}{2} - \frac{6}{2} = 2x+5 - 2.5x - 3 = -0.5x + 2$
Показатель справа: $\frac{5x}{2} + \frac{6}{2} - 3x - 1 = 2.5x + 3 - 3x - 1 = -0.5x + 2$
Уравнение принимает вид:
$5^{-0.5x + 2} = 7^{-0.5x + 2}$
Равенство вида $a^y = b^y$, где $a, b > 0$ и $a \neq b$, выполняется только тогда, когда показатель степени $y$ равен нулю.
Следовательно, приравниваем показатель к нулю:
$-0.5x + 2 = 0$
$-0.5x = -2$
$x = \frac{-2}{-0.5}$
$x = 4$
Ответ: $4$
2) $0.2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = (\frac{1}{5})^6$
Приведем все члены уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 5.
Преобразуем десятичную дробь и дробь в правой части в степени с основанием 5:
$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$(\frac{1}{5})^6 = (5^{-1})^6 = 5^{-6}$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(5^{-1})^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6}$
Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^{-x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6}$
$5^{-x^2 + 2x + 2} = 5^{-6}$
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$-x^2 + 2x + 2 = -6$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$-x^2 + 2x + 2 + 6 = 0$
$-x^2 + 2x + 8 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства решения:
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$
Найдем корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$
$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
$x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $-2; 4$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 839 расположенного на странице 329 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №839 (с. 329), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.