Номер 839, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 839, страница 329.

Условие.

839. 1) $5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)};$

2) $0.2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = \left(\frac{1}{5}\right)^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 35^{\frac{1}{2}(5x+6)}$

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести все степени к одинаковым основаниям. Заметим, что $35 = 5 \cdot 7$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$35^{\frac{1}{2}(5x+6)} = (5 \cdot 7)^{\frac{1}{2}(5x+6)} = 5^{\frac{1}{2}(5x+6)} \cdot 7^{\frac{1}{2}(5x+6)}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^{2x+5} \cdot 7^{3x+1} = 5^{\frac{5x+6}{2}} \cdot 7^{\frac{5x+6}{2}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $5^{\frac{5x+6}{2}}$ и на $7^{3x+1}$ (эти выражения не равны нулю ни при каких значениях $x$):

$\frac{5^{2x+5}}{5^{\frac{5x+6}{2}}} = \frac{7^{\frac{5x+6}{2}}}{7^{3x+1}}$

Применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{(2x+5) - \frac{5x+6}{2}} = 7^{\frac{5x+6}{2} - (3x+1)}$

Упростим выражения в показателях степеней:

Показатель слева: $2x+5 - \frac{5x}{2} - \frac{6}{2} = 2x+5 - 2.5x - 3 = -0.5x + 2$

Показатель справа: $\frac{5x}{2} + \frac{6}{2} - 3x - 1 = 2.5x + 3 - 3x - 1 = -0.5x + 2$

Уравнение принимает вид:

$5^{-0.5x + 2} = 7^{-0.5x + 2}$

Равенство вида $a^y = b^y$, где $a, b > 0$ и $a \neq b$, выполняется только тогда, когда показатель степени $y$ равен нулю.

Следовательно, приравниваем показатель к нулю:

$-0.5x + 2 = 0$

$-0.5x = -2$

$x = \frac{-2}{-0.5}$

$x = 4$

Ответ: $4$

2) $0.2^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = (\frac{1}{5})^6$

Приведем все члены уравнения к одному основанию, в данном случае к основанию 5.

Преобразуем десятичную дробь и дробь в правой части в степени с основанием 5:

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$(\frac{1}{5})^6 = (5^{-1})^6 = 5^{-6}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(5^{-1})^{x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6}$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^{-x^2} \cdot 5^{2x+2} = 5^{-6}$

$5^{-x^2 + 2x + 2} = 5^{-6}$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x^2 + 2x + 2 = -6$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$-x^2 + 2x + 2 + 6 = 0$

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1 для удобства решения:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$

$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 4$