Номер 843, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 843, страница 329.

Условие.

843. 1) $0,5^x = 2x + 1;$

2) $2^x = 3 - x^2;$

3) $\log_3 x = 4 - x;$

4) $\log_{\frac{1}{2}} x = 4x^2;$

5) $2x = \log_{0,5} x;$

6) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \log_3 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Рассмотрим уравнение $0,5^x = 2x + 1$.
Решим это уравнение графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y = 0,5^x$ и $y = 2x + 1$.
Функция $y = 0,5^x$ — показательная, основание $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция является строго убывающей на всей своей области определения.
Функция $y = 2x + 1$ — линейная, угловой коэффициент $2 > 0$, поэтому функция является строго возрастающей на всей своей области определения.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
Подберем корень. Попробуем $x = 0$:
Левая часть: $0,5^0 = 1$.
Правая часть: $2 \cdot 0 + 1 = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = 0$ является корнем уравнения.
Поскольку корень может быть только один, мы его нашли.
Ответ: $x=0$.

2) Рассмотрим уравнение $2^x = 3 - x^2$.
Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3 - x^2$.
Функция $y_1 = 2^x$ — показательная, основание $2 > 1$, функция строго возрастающая.
Функция $y_2 = 3 - x^2$ — квадратичная, её график — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Функция возрастает при $x < 0$ и убывает при $x > 0$.
Найдем один из корней подбором. Попробуем $x = 1$:
Левая часть: $2^1 = 2$.
Правая часть: $3 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.
Так как $2 = 2$, то $x = 1$ является корнем уравнения.
При $x > 1$ функция $y_1=2^x$ возрастает, а $y_2=3-x^2$ убывает, значит, других корней в этой области нет.
Рассмотрим область $x < 1$. Проверим наличие других корней.
Пусть $f(x) = 2^x + x^2 - 3$.
Мы уже знаем, что $f(1) = 0$.
Найдем значение функции в некоторых целых отрицательных точках:
$f(-1) = 2^{-1} + (-1)^2 - 3 = 0,5 + 1 - 3 = -1,5$.
$f(-2) = 2^{-2} + (-2)^2 - 3 = 0,25 + 4 - 3 = 1,25$.
Так как функция $f(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[-2, -1]$ принимает значения разных знаков ($f(-2) > 0$ и $f(-1) < 0$), то на интервале $(-2, -1)$ существует по крайней мере еще один корень.
Вторая производная $f''(x) = 2^x (\ln 2)^2 + 2$ всегда положительна, значит функция $f(x)$ является выпуклой вниз и может иметь не более двух корней.
Таким образом, уравнение имеет два корня. Один из них — $x=1$, а второй — иррациональное число, находящееся в интервале $(-2, -1)$. В рамках школьной программы обычно достаточно найти целый корень.
Ответ: $x=1$ (также существует второй корень $x \in (-2, -1)$).

3) Рассмотрим уравнение $\log_3 x = 4 - x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: $x > 0$.
Рассмотрим функции $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = 4 - x$.
Функция $y_1 = \log_3 x$ — логарифмическая, основание $3 > 1$, функция строго возрастающая на своей области определения.
Функция $y_2 = 4 - x$ — линейная, функция строго убывающая.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором. Для того чтобы логарифм был целым числом, $x$ должен быть степенью числа 3. Попробуем $x = 3$:
Левая часть: $\log_3 3 = 1$.
Правая часть: $4 - 3 = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = 3$ является корнем уравнения.
Поскольку корень единственный, мы его нашли.
Ответ: $x=3$.

4) Рассмотрим уравнение $\log_{\frac{1}{2}} x = 4x^2$.
ОДЗ: $x > 0$.
Рассмотрим функции $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2 = 4x^2$.
Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая, основание $\frac{1}{2} \in (0, 1)$, функция строго убывающая на ОДЗ.
Функция $y_2 = 4x^2$ — квадратичная. На области $x > 0$ она строго возрастает.
Строго убывающая и строго возрастающая функции на заданной области могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором. Попробуем $x = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right) = 1$.
Правая часть: $4 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения.
Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

5) Рассмотрим уравнение $2x = \log_{0,5} x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Рассмотрим функции $y_1 = 2x$ и $y_2 = \log_{0,5} x$.
Функция $y_1 = 2x$ — линейная, строго возрастающая.
Функция $y_2 = \log_{0,5} x$ — логарифмическая, основание $0,5 \in (0, 1)$, строго убывающая на ОДЗ.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут иметь не более одного корня.
Найдем корень подбором. Попробуем $x = 0,5 = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.
Правая часть: $\log_{0,5} (0,5) = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = 0,5$ является корнем.
Ответ: $x=0,5$.

6) Рассмотрим уравнение $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \log_3 x$.
ОДЗ: $x > 0$.
Рассмотрим функции $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y_2 = \log_3 x$.
Функция $y_1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$ — показательная, основание $\frac{1}{3} \in (0, 1)$, функция строго убывающая.
Функция $y_2 = \log_3 x$ — логарифмическая, основание $3 > 1$, функция строго возрастающая на ОДЗ.
Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке, значит, уравнение имеет не более одного корня.
Попробуем найти корень подбором.
При $x=1$: левая часть равна $\left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$, правая часть равна $\log_3 1 = 0$. $\frac{1}{3} > 0$.
При $x=2$: левая часть равна $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$. Правая часть равна $\log_3 2$. Так как $3^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1.73 < 2$, то $\log_3 2 > \frac{1}{2}$. Ясно, что $\frac{1}{9} < \log_3 2$.
Рассмотрим функцию $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x - \log_3 x$.
$f(1) = \frac{1}{3} > 0$.
$f(2) = \frac{1}{9} - \log_3 2 < 0$.
Так как функция $f(x)$ непрерывна на $(1, 2)$ и принимает на концах этого интервала значения разных знаков, то на интервале $(1, 2)$ существует корень уравнения.
Этот корень является единственным. Данный корень не является рациональным числом и не может быть найден аналитически стандартными школьными методами.
Ответ: Уравнение имеет единственный корень $x_0 \in (1, 2)$.