Номер 849, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 849, страница 329.

Условие.

849. 1) $x^{\lg x} = 10;$

2) $x^{\log_3 x} = 9x;$

3) $x^{\lg x} - 1 = 10(1 - x^{-\lg x});$

4) $x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $x^{\lg x} = 10$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием десятичного логарифма $\lg x$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(10)$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, левая часть уравнения преобразуется в:

$(\lg x) \cdot (\lg x) = (\lg x)^2$

Правая часть уравнения: $\lg(10) = 1$.

Получаем уравнение:

$(\lg x)^2 = 1$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$\lg x = 1$ или $\lg x = -1$

Решаем каждое из полученных уравнений:

Если $\lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$.

Если $\lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = 0.1$.

Оба корня, $10$ и $0.1$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.1$.

2) $x^{\log_3 x} = 9x$

ОДЗ: $x > 0$ из-за наличия $\log_3 x$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, так как в показателе степени стоит логарифм по основанию 3.

$\log_3(x^{\log_3 x}) = \log_3(9x)$

Преобразуем левую часть по свойству логарифма степени:

$(\log_3 x) \cdot (\log_3 x) = (\log_3 x)^2$

Преобразуем правую часть по свойству логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$:

$\log_3(9x) = \log_3(9) + \log_3(x) = 2 + \log_3(x)$

Получаем уравнение:

$(\log_3 x)^2 = 2 + \log_3 x$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения:

$y^2 = 2 + y$

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение (например, по теореме Виета):

$y_1 + y_2 = 1$

$y_1 \cdot y_2 = -2$

Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

Если $\log_3 x = 2$, то $x = 3^2 = 9$.

Если $\log_3 x = -1$, то $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Оба корня, $9$ и $\frac{1}{3}$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = \frac{1}{3}$.

3) $x^{\lg x} - 1 = 10(1 - x^{-\lg x})$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем выражение в скобках, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x^{\lg x} - 1 = 10(1 - \frac{1}{x^{\lg x}})$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^{\lg x}$. Так как $x > 0$, то $y > 0$.

Уравнение с новой переменной:

$y - 1 = 10(1 - \frac{1}{y})$

$y - 1 = 10 - \frac{10}{y}$

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \ne 0$), чтобы избавиться от дроби:

$y(y - 1) = y(10 - \frac{10}{y})$

$y^2 - y = 10y - 10$

$y^2 - 11y + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$y_1 = 10$, $y_2 = 1$.

Выполним обратную замену:

Случай 1: $y = 10$.

$x^{\lg x} = 10$. Это уравнение было решено в пункте 1. Его корни: $x_1 = 10, x_2 = 0.1$.

Случай 2: $y = 1$.

$x^{\lg x} = 1$. Прологарифмируем обе части по основанию 10:

$\lg(x^{\lg x}) = \lg(1)$

$(\lg x)^2 = 0$

$\lg x = 0$

$x = 10^0 = 1$.

Все три найденных корня ($10, 0.1, 1$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.1, x_3 = 1$.

4) $x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x}$

ОДЗ: основание степени $x$ должно быть положительным, $x > 0$. (При $x=0$ возникает неопределенность $0^0$).

Преобразуем правую часть уравнения, используя определение корня как степени с дробным показателем $\sqrt{a} = a^{1/2}$:

$\sqrt{x^x} = (x^x)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{x}{2}}$

Получаем уравнение:

$x^{\sqrt{x}} = x^{\frac{x}{2}}$

Это показательное уравнение вида $a^b = a^c$. Оно равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: Основание степени равно 1.

$x = 1$.

Проверка: $1^{\sqrt{1}} = \sqrt{1^1} \implies 1 = 1$. Корень $x=1$ является решением.

Случай 2: Показатели степеней равны (при $x > 0$ и $x \ne 1$).

$\sqrt{x} = \frac{x}{2}$

Для решения возведем обе части в квадрат. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{x}{2} \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$. Это не противоречит нашему ОДЗ $x>0$.

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{x}{2})^2$

$x = \frac{x^2}{4}$

$4x = x^2$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Отсюда $x=0$ или $x=4$. Корень $x=0$ не входит в ОДЗ. Остается $x=4$.

Проверка: $4^{\sqrt{4}} = 4^2 = 16$. $\sqrt{4^4} = \sqrt{256} = 16$. Равенство верно, значит $x=4$ - корень.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 4$.