Номер 849, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 849, страница 329.
№849 (с. 329)
Условие. №849 (с. 329)
скриншот условия

849. 1) $x^{\lg x} = 10;$
2) $x^{\log_3 x} = 9x;$
3) $x^{\lg x} - 1 = 10(1 - x^{-\lg x});$
4) $x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x}.$
Решение 1. №849 (с. 329)




Решение 2. №849 (с. 329)



Решение 3. №849 (с. 329)
1) $x^{\lg x} = 10$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием десятичного логарифма $\lg x$. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
$\lg(x^{\lg x}) = \lg(10)$
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, левая часть уравнения преобразуется в:
$(\lg x) \cdot (\lg x) = (\lg x)^2$
Правая часть уравнения: $\lg(10) = 1$.
Получаем уравнение:
$(\lg x)^2 = 1$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей:
$\lg x = 1$ или $\lg x = -1$
Решаем каждое из полученных уравнений:
Если $\lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$.
Если $\lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = 0.1$.
Оба корня, $10$ и $0.1$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.1$.
2) $x^{\log_3 x} = 9x$
ОДЗ: $x > 0$ из-за наличия $\log_3 x$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, так как в показателе степени стоит логарифм по основанию 3.
$\log_3(x^{\log_3 x}) = \log_3(9x)$
Преобразуем левую часть по свойству логарифма степени:
$(\log_3 x) \cdot (\log_3 x) = (\log_3 x)^2$
Преобразуем правую часть по свойству логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a(b) + \log_a(c)$:
$\log_3(9x) = \log_3(9) + \log_3(x) = 2 + \log_3(x)$
Получаем уравнение:
$(\log_3 x)^2 = 2 + \log_3 x$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения:
$y^2 = 2 + y$
$y^2 - y - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение (например, по теореме Виета):
$y_1 + y_2 = 1$
$y_1 \cdot y_2 = -2$
Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
Если $\log_3 x = 2$, то $x = 3^2 = 9$.
Если $\log_3 x = -1$, то $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Оба корня, $9$ и $\frac{1}{3}$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x_1 = 9, x_2 = \frac{1}{3}$.
3) $x^{\lg x} - 1 = 10(1 - x^{-\lg x})$
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем выражение в скобках, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$x^{\lg x} - 1 = 10(1 - \frac{1}{x^{\lg x}})$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^{\lg x}$. Так как $x > 0$, то $y > 0$.
Уравнение с новой переменной:
$y - 1 = 10(1 - \frac{1}{y})$
$y - 1 = 10 - \frac{10}{y}$
Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \ne 0$), чтобы избавиться от дроби:
$y(y - 1) = y(10 - \frac{10}{y})$
$y^2 - y = 10y - 10$
$y^2 - 11y + 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение:
$y_1 = 10$, $y_2 = 1$.
Выполним обратную замену:
Случай 1: $y = 10$.
$x^{\lg x} = 10$. Это уравнение было решено в пункте 1. Его корни: $x_1 = 10, x_2 = 0.1$.
Случай 2: $y = 1$.
$x^{\lg x} = 1$. Прологарифмируем обе части по основанию 10:
$\lg(x^{\lg x}) = \lg(1)$
$(\lg x)^2 = 0$
$\lg x = 0$
$x = 10^0 = 1$.
Все три найденных корня ($10, 0.1, 1$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 10, x_2 = 0.1, x_3 = 1$.
4) $x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x^x}$
ОДЗ: основание степени $x$ должно быть положительным, $x > 0$. (При $x=0$ возникает неопределенность $0^0$).
Преобразуем правую часть уравнения, используя определение корня как степени с дробным показателем $\sqrt{a} = a^{1/2}$:
$\sqrt{x^x} = (x^x)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{x}{2}}$
Получаем уравнение:
$x^{\sqrt{x}} = x^{\frac{x}{2}}$
Это показательное уравнение вида $a^b = a^c$. Оно равносильно совокупности двух случаев:
Случай 1: Основание степени равно 1.
$x = 1$.
Проверка: $1^{\sqrt{1}} = \sqrt{1^1} \implies 1 = 1$. Корень $x=1$ является решением.
Случай 2: Показатели степеней равны (при $x > 0$ и $x \ne 1$).
$\sqrt{x} = \frac{x}{2}$
Для решения возведем обе части в квадрат. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то и правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{x}{2} \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$. Это не противоречит нашему ОДЗ $x>0$.
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{x}{2})^2$
$x = \frac{x^2}{4}$
$4x = x^2$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Отсюда $x=0$ или $x=4$. Корень $x=0$ не входит в ОДЗ. Остается $x=4$.
Проверка: $4^{\sqrt{4}} = 4^2 = 16$. $\sqrt{4^4} = \sqrt{256} = 16$. Равенство верно, значит $x=4$ - корень.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 4$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 849 расположенного на странице 329 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №849 (с. 329), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.