Номер 851, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 851, страница 329.

Условие.

851. 1) $\log_4(2 + \sqrt{x + 3}) = 1$; 2) $\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{x^2 - 2x} = -\frac{1}{2}$;

3) $\frac{1}{2}\log_3(x + 1) = \log_3\sqrt{x + 4} - 2\log_3\sqrt{2}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\log_4(2 + \sqrt{x + 3}) = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а аргумент логарифма — положительным.

1. $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
2. $2 + \sqrt{x + 3} > 0$. Поскольку $\sqrt{x + 3} \ge 0$, это выражение всегда больше или равно 2, то есть всегда положительно.

Следовательно, ОДЗ: $x \ge -3$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма: $\log_a b = c \iff a^c = b$.

$2 + \sqrt{x + 3} = 4^1$
$2 + \sqrt{x + 3} = 4$
$\sqrt{x + 3} = 4 - 2$
$\sqrt{x + 3} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 3})^2 = 2^2$
$x + 3 = 4$
$x = 4 - 3$
$x = 1$

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. $1 \ge -3$, что является верным.

Ответ: $x = 1$.

2) $\log_{\frac{1}{3}}\sqrt{x^2 - 2x} = -\frac{1}{2}$

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

$\sqrt{x^2 - 2x} > 0$

Это равносильно тому, что подкоренное выражение строго больше нуля:

$x^2 - 2x > 0$
$x(x - 2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x = 0$ и $x = 2$. Ветви параболы $y = x^2 - 2x$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется при $x < 0$ или $x > 2$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

Решим уравнение по определению логарифма:

$\sqrt{x^2 - 2x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}$

Упростим правую часть:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} = (3^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 3^{-1 \cdot (-\frac{1}{2})} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Получаем уравнение:

$\sqrt{x^2 - 2x} = \sqrt{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 2x = 3$
$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 2$
$x_1 \cdot x_2 = -3$

$x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x < 0$ или $x > 2$):

$x_1 = 3$: $3 > 2$, корень подходит.
$x_2 = -1$: $-1 < 0$, корень подходит.

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -1$.

3) $\frac{1}{2}\log_3(x + 1) = \log_3\sqrt{x + 4} - 2\log_3\sqrt{2}$

Найдем ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными.

1. $x + 1 > 0 \implies x > -1$.
2. $\sqrt{x + 4} > 0 \implies x + 4 > 0 \implies x > -4$.
3. $\sqrt{2} > 0$, это верно.

Пересечением условий $x > -1$ и $x > -4$ является $x > -1$.

ОДЗ: $x \in (-1; +\infty)$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

$\log_3 (x + 1)^{\frac{1}{2}} = \log_3\sqrt{x + 4} - \log_3 (\sqrt{2})^2$
$\log_3 \sqrt{x + 1} = \log_3\sqrt{x + 4} - \log_3 2$
$\log_3 \sqrt{x + 1} = \log_3 \frac{\sqrt{x + 4}}{2}$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$\sqrt{x + 1} = \frac{\sqrt{x + 4}}{2}$

Умножим обе части на 2:

$2\sqrt{x + 1} = \sqrt{x + 4}$

Возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{x + 1})^2 = (\sqrt{x + 4})^2$
$4(x + 1) = x + 4$
$4x + 4 = x + 4$
$4x - x = 4 - 4$
$3x = 0$
$x = 0$

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > -1$):

$0 > -1$, что является верным. Корень подходит.

Ответ: $x = 0$.