Номер 847, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 847, страница 329.

Условие.

847.1) $\log_2(2x - 18) + \log_2(x - 9) = 5;$

2) $\lg(x^2 + 19) - \lg(x + 1) = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное уравнение: $log_2(2x - 18) + log_2(x - 9) = 5$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x - 18 > 0 \\ x - 9 > 0 \end{cases}$
Решая эту систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} 2x > 18 \\ x > 9 \end{cases}$ $\implies$ $\begin{cases} x > 9 \\ x > 9 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > 9$.

Теперь приступим к решению уравнения. Воспользуемся свойством суммы логарифмов $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$:
$log_2((2x - 18)(x - 9)) = 5$
Вынесем общий множитель 2 из первого выражения в скобках:
$log_2(2(x - 9)(x - 9)) = 5$
$log_2(2(x - 9)^2) = 5$
По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff a^c = b$):
$2(x - 9)^2 = 2^5$
$2(x - 9)^2 = 32$
Разделим обе части уравнения на 2:
$(x - 9)^2 = 16$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x - 9 = 4$ или $x - 9 = -4$
Находим два возможных корня:
$x_1 = 4 + 9 = 13$
$x_2 = -4 + 9 = 5$

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x > 9$):
Корень $x_1 = 13$ удовлетворяет условию ($13 > 9$), следовательно, является решением.
Корень $x_2 = 5$ не удовлетворяет условию ($5 \ngtr 9$), следовательно, является посторонним корнем.
Ответ: 13

2) Исходное уравнение: $lg(x^2 + 19) - lg(x + 1) = 1$.
Напомним, что $lg(a)$ — это десятичный логарифм, то есть $log_{10}(a)$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x^2 + 19 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$
Первое неравенство, $x^2 + 19 > 0$, выполняется для любого действительного значения $x$, поскольку $x^2 \ge 0$, и, соответственно, $x^2 + 19 \ge 19$.
Второе неравенство, $x + 1 > 0$, дает нам $x > -1$.
Таким образом, ОДЗ: $x > -1$.

Решим уравнение. Используем свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$:
$lg(\frac{x^2 + 19}{x + 1}) = 1$
По определению логарифма:
$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10^1$
$\frac{x^2 + 19}{x + 1} = 10$
Так как из ОДЗ известно, что $x + 1 > 0$, мы можем умножить обе части на $(x+1)$:
$x^2 + 19 = 10(x + 1)$
$x^2 + 19 = 10x + 10$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 10x + 19 - 10 = 0$
$x^2 - 10x + 9 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$.
Либо можно решить через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2}$
$x_1 = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ ($x > -1$):
Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию ($9 > -1$).
Корень $x_2 = 1$ также удовлетворяет условию ($1 > -1$).
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: 1; 9