Номер 840, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 840, страница 329.

Условие.

840. 1) $2.4^{3-2x} = 2.4^{3x-2}$;

2) $\left(\frac{5}{3}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{x-2}$;

3) $\frac{1}{\sqrt{8}} = \left(\frac{1}{16}\right)^{-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $2,4^{3-2x} = 2,4^{3x-2}$

В данном показательном уравнении основания степеней в левой и правой частях одинаковы. Если основания равны ($a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a>0, a \neq 1$), то равны и их показатели.

Приравняем показатели степеней:

$3 - 2x = 3x - 2$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую.

$3 + 2 = 3x + 2x$

$5 = 5x$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{5}{5}$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

2) $(\frac{5}{3})^x = (\frac{3}{5})^{x-2}$

В этом уравнении основания степеней являются взаимно обратными числами. Чтобы привести их к одному основанию, воспользуемся свойством степени: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Представим правую часть уравнения с основанием $\frac{5}{3}$:

$\frac{3}{5} = (\frac{5}{3})^{-1}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\frac{5}{3})^x = ((\frac{5}{3})^{-1})^{x-2}$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть:

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^{-1 \cdot (x-2)}$

$(\frac{5}{3})^x = (\frac{5}{3})^{-x+2}$

Теперь, когда основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = -x + 2$

Решим полученное линейное уравнение:

$x + x = 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

3) $\frac{1}{\sqrt{8}} = (\frac{1}{16})^{-x}$

Чтобы решить это уравнение, приведем обе его части к степени с одинаковым основанием. Заметим, что числа 8 и 16 являются степенями числа 2:

$8 = 2^3$

$16 = 2^4$

Преобразуем левую часть уравнения:

$\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = 8^{-1/2} = (2^3)^{-1/2} = 2^{-3/2}$

Теперь преобразуем правую часть. Используя свойство $(\frac{1}{a})^{-n} = a^n$, получаем:

$(\frac{1}{16})^{-x} = 16^x$

Подставим $16 = 2^4$:

$16^x = (2^4)^x = 2^{4x}$

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$2^{-3/2} = 2^{4x}$

Основания степеней равны, поэтому приравниваем их показатели:

$-\frac{3}{2} = 4x$

Найдем $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{-3/2}{4} = -\frac{3}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{8}$

Ответ: $x = -\frac{3}{8}$.