Номер 835, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 835, страница 328.

Условие.

835. 1) $\sqrt{x^2 - 6x + 9} + \sqrt{25 + 10x + x^2} = 8;$

2) $\sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 5;$

3) $\sqrt[3]{(8 - x)^2} - \sqrt[3]{(8 - x)(27 + x)} + \sqrt[3]{(27 + x)^2} = 7;$

4) $\sqrt[4]{8 - x} - \sqrt[4]{89 + x} = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 6x + 9} + \sqrt{25 + 10x + x^2} = 8$. Заметим, что выражения под знаками корня являются полными квадратами: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ и $25 + 10x + x^2 = (x + 5)^2$. Тогда уравнение можно переписать в виде: $\sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{(x + 5)^2} = 8$. Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем уравнение с модулями: $|x - 3| + |x + 5| = 8$. Для решения этого уравнения рассмотрим три случая, раскрывая модули на интервалах, которые определяются нулями подмодульных выражений: $x = 3$ и $x = -5$.
Случай 1: $x < -5$. Оба выражения, $(x-3)$ и $(x+5)$, отрицательны. Раскрываем модули со знаком минус: $-(x - 3) - (x + 5) = 8$ $-x + 3 - x - 5 = 8$ $-2x - 2 = 8$ $-2x = 10$ $x = -5$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -5$, поэтому в этом интервале решений нет.
Случай 2: $-5 \le x < 3$. Выражение $(x-3)$ отрицательно, а $(x+5)$ неотрицательно. $-(x - 3) + (x + 5) = 8$ $-x + 3 + x + 5 = 8$ $8 = 8$. Это тождество, которое верно для всех значений $x$ из данного промежутка. Следовательно, весь интервал $[-5, 3)$ является решением.
Случай 3: $x \ge 3$. Оба выражения, $(x-3)$ и $(x+5)$, неотрицательны. Раскрываем модули со знаком плюс: $(x - 3) + (x + 5) = 8$ $2x + 2 = 8$ $2x = 6$ $x = 3$. Это значение удовлетворяет условию $x \ge 3$.
Объединяя решения из всех случаев, получаем, что решением уравнения является отрезок от -5 до 3, включая концы.
Ответ: $x \in [-5, 3]$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 5$. Выражения под корнями являются полными квадратами: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ и $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{(x + 2)^2} - \sqrt{(x - 3)^2} = 5$. Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $|x + 2| - |x - 3| = 5$. Рассмотрим случаи, раскрывая модули на интервалах, определяемых точками $x = -2$ и $x = 3$.
Случай 1: $x < -2$. Оба выражения под модулями отрицательны. $-(x + 2) - (-(x - 3)) = 5$ $-x - 2 + x - 3 = 5$ $-5 = 5$. Это неверное равенство, значит, в этом интервале решений нет.
Случай 2: $-2 \le x < 3$. Выражение $(x+2)$ неотрицательно, а $(x-3)$ отрицательно. $(x + 2) - (-(x - 3)) = 5$ $x + 2 + x - 3 = 5$ $2x - 1 = 5$ $2x = 6$ $x = 3$. Это значение не входит в рассматриваемый интервал $[-2, 3)$.
Случай 3: $x \ge 3$. Оба выражения под модулями неотрицательны. $(x + 2) - (x - 3) = 5$ $x + 2 - x + 3 = 5$ $5 = 5$. Это тождество, верное для всех $x$ из данного промежутка. Следовательно, все $x \ge 3$ являются решениями.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

3) Дано уравнение: $\sqrt[3]{(8 - x)^2} - \sqrt[3]{(8 - x)(27 + x)} + \sqrt[3]{(27 + x)^2} = 7$. Введем замены: $a = \sqrt[3]{8 - x}$ и $b = \sqrt[3]{27 + x}$. Тогда уравнение принимает вид: $a^2 - ab + b^2 = 7$. Это выражение является неполным квадратом разности и входит в формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Найдем сумму кубов наших переменных $a$ и $b$: $a^3 = (\sqrt[3]{8 - x})^3 = 8 - x$ $b^3 = (\sqrt[3]{27 + x})^3 = 27 + x$ $a^3 + b^3 = (8 - x) + (27 + x) = 35$. Подставим известные значения в формулу суммы кубов: $35 = (a + b) \cdot 7$. Отсюда находим, что $a + b = \frac{35}{7} = 5$. Теперь у нас есть система из двух уравнений: $a+b=5$ и $ab$, которое можно найти из $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Или проще, вернемся к исходным переменным, имея новое, более простое уравнение: $\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{27 + x} = 5$. Возведем обе части этого уравнения в куб: $(\sqrt[3]{8 - x} + \sqrt[3]{27 + x})^3 = 5^3$. Используем формулу $(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$: $(8-x) + (27+x) + 3\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}(\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x}) = 125$. Мы уже знаем, что $(8-x)+(27+x)=35$ и $\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{27+x}=5$. Подставляем эти значения в уравнение: $35 + 3\sqrt[3]{(8-x)(27+x)} \cdot 5 = 125$ $15\sqrt[3]{(8-x)(27+x)} = 90$ $\sqrt[3]{(8-x)(27+x)} = 6$. Возводим обе части в куб: $(8-x)(27+x) = 6^3 = 216$. $216 + 8x - 27x - x^2 = 216$. $-x^2 - 19x = 0$. $-x(x+19) = 0$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$, $x_2 = -19$.
Ответ: $x_1 = -19, x_2 = 0$.

4) Дано уравнение: $\sqrt[4]{8 - x} - \sqrt[4]{89 + x} = 5$. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[4]{8 - x} - \sqrt[4]{89 + x}$. Нам нужно решить уравнение $f(x)=5$. Найдем область определения функции. Для этого подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $\begin{cases} 8 - x \ge 0 \\ 89 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -89 \end{cases}$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [-89, 8]$. Исследуем функцию на монотонность. Найдем ее производную: $f'(x) = (\sqrt[4]{8 - x})' - (\sqrt[4]{89 + x})' = \frac{1}{4}(8-x)^{-3/4}(-1) - \frac{1}{4}(89+x)^{-3/4}(1)$. $f'(x) = -\frac{1}{4\sqrt[4]{(8-x)^3}} - \frac{1}{4\sqrt[4]{(89+x)^3}}$. Внутри области определения $(-89, 8)$ оба знаменателя положительны, поэтому оба слагаемых в выражении для производной отрицательны. Следовательно, $f'(x) < 0$ для всех $x \in (-89, 8)$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на ее области определения. Поскольку функция строго убывает, свое наибольшее значение она принимает в левой крайней точке ($x=-89$), а наименьшее — в правой ($x=8$). Наибольшее значение: $f(-89) = \sqrt[4]{8 - (-89)} - \sqrt[4]{89 + (-89)} = \sqrt[4]{97} - \sqrt[4]{0} = \sqrt[4]{97}$. Наименьшее значение: $f(8) = \sqrt[4]{8 - 8} - \sqrt[4]{89 + 8} = \sqrt[4]{0} - \sqrt[4]{97} = -\sqrt[4]{97}$. Множество значений функции $E(f) = [-\sqrt[4]{97}, \sqrt[4]{97}]$. Мы решаем уравнение $f(x) = 5$. Решение существует, только если $5$ принадлежит множеству значений функции, то есть если $-\sqrt[4]{97} \le 5 \le \sqrt[4]{97}$. Проверим неравенство $5 \le \sqrt[4]{97}$. Возведем обе части в четвертую степень: $5^4 \le 97$ $625 \le 97$. Это неравенство является ложным. Так как число 5 больше, чем наибольшее возможное значение функции $f(x)$, то уравнение $f(x)=5$ не может иметь решений.
Ответ: корней нет.