Номер 830, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 830, страница 328.

Условие.

830. Решить в целых числах уравнение:

1) $2x^2y^2 - 14y^2 = 25 - x^2$;

2) $3x^2 - 8xy - 16y^2 = 19$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решить в целых числах уравнение $2x^2y^2 - 14y^2 = 25 - x^2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы сгруппировать переменные:

$2x^2y^2 + x^2 - 14y^2 - 25 = 0$

Выполним группировку и разложим левую часть на множители. Вынесем $x^2$ из первых двух слагаемых и $-7$ из последних двух, добавив и вычтя необходимое число для получения общего множителя:

$x^2(2y^2 + 1) - 14y^2 - 7 + 7 - 25 = 0$

$x^2(2y^2 + 1) - 7(2y^2 + 1) - 18 = 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(2y^2 + 1)$:

$(x^2 - 7)(2y^2 + 1) = 18$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть целыми числами, выражения $(x^2 - 7)$ и $(2y^2 + 1)$ также должны быть целыми числами. Их произведение равно 18. Рассмотрим возможные значения множителей.

Так как $y$ — целое число, $y^2 \ge 0$. Следовательно, множитель $2y^2 + 1$ всегда будет положительным нечетным числом, не меньшим 1 (при $y=0$, $2y^2+1=1$; при $y=\pm1$, $2y^2+1=3$; при $y=\pm2$, $2y^2+1=9$ и т.д.).

Найдем все целые делители числа 18: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$.

Из них выберем те, которые могут быть равны $2y^2 + 1$, то есть положительные нечетные числа: 1, 3, 9.

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1: $2y^2 + 1 = 1$.

$2y^2 = 0 \implies y^2 = 0 \implies y = 0$.

Тогда второй множитель $x^2 - 7$ должен быть равен $18/1 = 18$.

$x^2 - 7 = 18 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm5$.

Получаем две пары решений: $(5, 0)$ и $(-5, 0)$.

Случай 2: $2y^2 + 1 = 3$.

$2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm1$.

Тогда второй множитель $x^2 - 7$ должен быть равен $18/3 = 6$.

$x^2 - 7 = 6 \implies x^2 = 13$.

Число 13 не является квадратом целого числа, поэтому в этом случае целочисленных решений для $x$ нет.

Случай 3: $2y^2 + 1 = 9$.

$2y^2 = 8 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm2$.

Тогда второй множитель $x^2 - 7$ должен быть равен $18/9 = 2$.

$x^2 - 7 = 2 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm3$.

Получаем четыре пары решений: $(3, 2)$, $(3, -2)$, $(-3, 2)$ и $(-3, -2)$.

Других положительных нечетных делителей у числа 18 нет. Таким образом, мы нашли все целочисленные решения.

Ответ: $(5, 0), (-5, 0), (3, 2), (3, -2), (-3, 2), (-3, -2)$.

2) Решить в целых числах уравнение $3x^2 - 8xy - 16y^2 = 19$.

Левая часть уравнения представляет собой однородный многочлен второй степени. Попробуем разложить его на множители. Для этого решим квадратное уравнение $3x^2 - 8yx - 16y^2 = 0$ относительно переменной $x$:

Дискриминант $D = (-8y)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16y^2) = 64y^2 + 192y^2 = 256y^2 = (16y)^2$.

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{8y \pm \sqrt{(16y)^2}}{2 \cdot 3} = \frac{8y \pm 16y}{6}$

$x_1 = \frac{8y + 16y}{6} = \frac{24y}{6} = 4y$

$x_2 = \frac{8y - 16y}{6} = \frac{-8y}{6} = -\frac{4}{3}y$

Тогда левую часть можно разложить на множители:

$3(x - 4y)(x - (-\frac{4}{3}y)) = 3(x - 4y)(x + \frac{4}{3}y) = (x - 4y)(3x + 4y)$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$(x - 4y)(3x + 4y) = 19$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - 4y)$ и $(3x + 4y)$ также являются целыми числами. Число 19 — простое, его целые делители: $1, -1, 19, -19$. Это приводит к четырем возможным системам уравнений.

Система 1:

$\begin{cases} x - 4y = 1 \\ 3x + 4y = 19 \end{cases}$

Сложим уравнения: $4x = 20 \implies x = 5$.

Подставим $x=5$ в первое уравнение: $5 - 4y = 1 \implies 4y = 4 \implies y = 1$.

Решение: $(5, 1)$.

Система 2:

$\begin{cases} x - 4y = 19 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases}$

Сложим уравнения: $4x = 20 \implies x = 5$.

Подставим $x=5$ в первое уравнение: $5 - 4y = 19 \implies -4y = 14 \implies y = -14/4 = -3.5$.

Это не целое число, поэтому данная система не имеет решений в целых числах.

Система 3:

$\begin{cases} x - 4y = -1 \\ 3x + 4y = -19 \end{cases}$

Сложим уравнения: $4x = -20 \implies x = -5$.

Подставим $x=-5$ в первое уравнение: $-5 - 4y = -1 \implies -4y = 4 \implies y = -1$.

Решение: $(-5, -1)$.

Система 4:

$\begin{cases} x - 4y = -19 \\ 3x + 4y = -1 \end{cases}$

Сложим уравнения: $4x = -20 \implies x = -5$.

Подставим $x=-5$ в первое уравнение: $-5 - 4y = -19 \implies -4y = -14 \implies y = 14/4 = 3.5$.

Это не целое число, поэтому данная система не имеет решений в целых числах.

Следовательно, уравнение имеет только две пары целочисленных решений.

Ответ: $(5, 1), (-5, -1)$.