Номер 834, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 834, страница 328.

Условие.

834. 1) $ \sqrt[3]{x^6 - 26} + 2\sqrt[6]{x^6 - 26} = 3 $

2) $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} = 0 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sqrt[3]{x^6 - 26} + 2\sqrt[6]{x^6 - 26} = 3$

Данное уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что $\sqrt[3]{x^6 - 26} = (\sqrt[6]{x^6 - 26})^2$.

Пусть $y = \sqrt[6]{x^6 - 26}$. Поскольку корень шестой степени (четной степени) из действительного числа должен быть неотрицательным, то $y \ge 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 + 2y = 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Корнями являются $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Теперь вернемся к условию $y \ge 0$. Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $y_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x^6 - 26} = 1$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$(\sqrt[6]{x^6 - 26})^6 = 1^6$

$x^6 - 26 = 1$

$x^6 = 27$

Теперь найдем $x$:

$x = \pm \sqrt[6]{27}$

Упростим корень: $\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.

Таким образом, получаем два решения: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.

Проверим область допустимых значений. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x^6 - 26 \ge 0$. Для найденных корней $x^6 = 27$, что удовлетворяет условию $27 \ge 26$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{3}$.

2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} = 0$

Перенесем один из членов в правую часть уравнения:

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1} = -\sqrt[3]{x+2}$

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:

$(\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{x+1})^3 + 3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x+1}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1}) = -(\sqrt[3]{x+2})^3$

$x + (x+1) + 3\sqrt[3]{x(x+1)}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1}) = -(x+2)$

Заметим, что выражение в скобках $(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1})$ равно правой части исходного преобразованного уравнения, то есть $-\sqrt[3]{x+2}$. Сделаем подстановку:

$2x + 1 + 3\sqrt[3]{x(x+1)}(-\sqrt[3]{x+2}) = -x - 2$

$2x + 1 - 3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = -x - 2$

Уединим радикал:

$3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = 2x + 1 + x + 2$

$3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = 3x + 3$

Разделим обе части на 3:

$\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = x + 1$

Снова возведем обе части в куб:

$x(x+1)(x+2) = (x+1)^3$

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)^3 - x(x+1)(x+2) = 0$

$(x+1)[(x+1)^2 - x(x+2)] = 0$

$(x+1)[(x^2 + 2x + 1) - (x^2 + 2x)] = 0$

$(x+1)(1) = 0$

Отсюда получаем единственное возможное решение: $x + 1 = 0$, то есть $x = -1$.

Поскольку мы возводили уравнение в степень, необходимо выполнить проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$\sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{-1+1} + \sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{1} = -1 + 0 + 1 = 0$.

$0 = 0$.

Равенство верное, следовательно, $x=-1$ является корнем уравнения.

Ответ: $x = -1$.