Номер 834, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 834, страница 328.
№834 (с. 328)
Условие. №834 (с. 328)
скриншот условия

834. 1) $ \sqrt[3]{x^6 - 26} + 2\sqrt[6]{x^6 - 26} = 3 $
2) $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} = 0 $
Решение 1. №834 (с. 328)


Решение 2. №834 (с. 328)

Решение 3. №834 (с. 328)
1) $\sqrt[3]{x^6 - 26} + 2\sqrt[6]{x^6 - 26} = 3$
Данное уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что $\sqrt[3]{x^6 - 26} = (\sqrt[6]{x^6 - 26})^2$.
Пусть $y = \sqrt[6]{x^6 - 26}$. Поскольку корень шестой степени (четной степени) из действительного числа должен быть неотрицательным, то $y \ge 0$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y^2 + 2y = 3$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 + 2y - 3 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Корнями являются $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.
Теперь вернемся к условию $y \ge 0$. Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим единственный подходящий корень $y_1 = 1$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt[6]{x^6 - 26} = 1$
Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[6]{x^6 - 26})^6 = 1^6$
$x^6 - 26 = 1$
$x^6 = 27$
Теперь найдем $x$:
$x = \pm \sqrt[6]{27}$
Упростим корень: $\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{3/6} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$.
Таким образом, получаем два решения: $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.
Проверим область допустимых значений. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x^6 - 26 \ge 0$. Для найденных корней $x^6 = 27$, что удовлетворяет условию $27 \ge 26$.
Ответ: $x = \pm \sqrt{3}$.
2) $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} = 0$
Перенесем один из членов в правую часть уравнения:
$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1} = -\sqrt[3]{x+2}$
Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:
$(\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{x+1})^3 + 3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{x+1}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1}) = -(\sqrt[3]{x+2})^3$
$x + (x+1) + 3\sqrt[3]{x(x+1)}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1}) = -(x+2)$
Заметим, что выражение в скобках $(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x+1})$ равно правой части исходного преобразованного уравнения, то есть $-\sqrt[3]{x+2}$. Сделаем подстановку:
$2x + 1 + 3\sqrt[3]{x(x+1)}(-\sqrt[3]{x+2}) = -x - 2$
$2x + 1 - 3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = -x - 2$
Уединим радикал:
$3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = 2x + 1 + x + 2$
$3\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = 3x + 3$
Разделим обе части на 3:
$\sqrt[3]{x(x+1)(x+2)} = x + 1$
Снова возведем обе части в куб:
$x(x+1)(x+2) = (x+1)^3$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$(x+1)^3 - x(x+1)(x+2) = 0$
$(x+1)[(x+1)^2 - x(x+2)] = 0$
$(x+1)[(x^2 + 2x + 1) - (x^2 + 2x)] = 0$
$(x+1)(1) = 0$
Отсюда получаем единственное возможное решение: $x + 1 = 0$, то есть $x = -1$.
Поскольку мы возводили уравнение в степень, необходимо выполнить проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:
$\sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{-1+1} + \sqrt[3]{-1+2} = \sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{0} + \sqrt[3]{1} = -1 + 0 + 1 = 0$.
$0 = 0$.
Равенство верное, следовательно, $x=-1$ является корнем уравнения.
Ответ: $x = -1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 834 расположенного на странице 328 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №834 (с. 328), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.