Номер 841, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 841, страница 329.

Условие.

841. 1) $(\frac{4}{9})^x \cdot (\frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3};$

2) $\sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(\frac{4}{9})^x \cdot (\frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3}$

Для решения этого показательного уравнения приведем все степени к одному основанию $\frac{2}{3}$.

Представим дроби в виде степеней с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2$

$\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3 = ((\frac{2}{3})^{-1})^3 = (\frac{2}{3})^{-3}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$((\frac{2}{3})^2)^x \cdot ((\frac{2}{3})^{-3})^{x-1} = (\frac{2}{3})^1$

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{2}{3})^{2x} \cdot (\frac{2}{3})^{-3(x-1)} = (\frac{2}{3})^1$

Раскроем скобки в показателе второго множителя:

$(\frac{2}{3})^{2x} \cdot (\frac{2}{3})^{-3x+3} = (\frac{2}{3})^1$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(\frac{2}{3})^{2x + (-3x+3)} = (\frac{2}{3})^1$

Упростим показатель степени в левой части:

$(\frac{2}{3})^{-x+3} = (\frac{2}{3})^1$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-x + 3 = 1$

Решим полученное линейное уравнение:

$-x = 1 - 3$

$-x = -2$

$x = 2$

Ответ: $2$

2) $\sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойствами корней и степеней.

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ для левой части уравнения:

$\sqrt[3]{2^x \cdot 3^x} = 216$

В подкоренном выражении применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^m \cdot b^m = (ab)^m$:

$\sqrt[3]{(2 \cdot 3)^x} = 216$

$\sqrt[3]{6^x} = 216$

Представим корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$6^{\frac{x}{3}} = 216$

Теперь представим правую часть уравнения, число 216, в виде степени с основанием 6:

$216 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$

Подставим это значение в уравнение:

$6^{\frac{x}{3}} = 6^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\frac{x}{3} = 3$

Найдем $x$ из полученного уравнения:

$x = 3 \cdot 3$

$x = 9$

Ответ: $9$