Номер 842, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 842, страница 329.

Условие.

842. 1) $3^{2x} - 3^x = 72;$

2) $4^x - 2^{x+1} = 48.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $3^{2x} - 3^x = 72$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $3^{2x}$ можно представить как $(3^x)^2$.
Перепишем уравнение в виде:
$(3^x)^2 - 3^x - 72 = 0$

Это уравнение сводится к квадратному с помощью введения новой переменной.
Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, должно выполняться условие $t > 0$.
После замены уравнение принимает вид:
$t^2 - t - 72 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$
Найдем корни:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $t > 0$.
Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет условию, так как $9 > 0$.
Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет условию, так как $-8 < 0$, поэтому он является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:
$3^x = 9$
Представим число 9 как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.
$3^x = 3^2$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$x=2$

Ответ: $2$.

2) $4^x - 2^{x+1} = 48$

Для решения этого показательного уравнения приведем все степени к одному основанию 2.
Воспользуемся свойствами степеней: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x = 48$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение, приведенное к стандартному виду:
$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 48 = 0$

Введем новую переменную, чтобы свести уравнение к квадратному.
Пусть $y = 2^x$. Значения показательной функции всегда положительны, поэтому $y > 0$.
Уравнение примет вид:
$y^2 - 2y - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Проверим найденные корни на соответствие условию $y > 0$.
Корень $y_1 = 8$ подходит, так как $8 > 0$.
Корень $y_2 = -6$ не подходит, так как $-6 < 0$. Это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $y_1 = 8$:
$2^x = 8$
Представим 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.
$2^x = 2^3$
Приравниваем показатели степеней:
$x=3$

Ответ: $3$.