Номер 844, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 844, страница 329.

Условие.

844. 1) $(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0;$

2) $(\log_3 x)^2 + 5 = 2\log_3 x^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x + 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием на аргумент логарифма: $x > 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 3$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 2$. Отсюда находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного корня:

1. Если $\log_2 x = 1$, то по определению логарифма $x = 2^1 = 2$.

2. Если $\log_2 x = 2$, то по определению логарифма $x = 2^2 = 4$.

Оба найденных значения $x$ ($2$ и $4$) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 4$.

2) $(\log_3 x)^2 + 5 = 2\log_3 x^3$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Используем свойство логарифма степени $\log_a b^c = c \log_a b$ для преобразования правой части уравнения:

$2\log_3 x^3 = 2 \cdot (3 \log_3 x) = 6 \log_3 x$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(\log_3 x)^2 + 5 = 6 \log_3 x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(\log_3 x)^2 - 6 \log_3 x + 5 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\log_3 x$. Сделаем замену: пусть $y = \log_3 x$.

$y^2 - 6y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней $y_1 + y_2 = 6$, произведение $y_1 \cdot y_2 = 5$. Корни:

$y_1 = 1$ и $y_2 = 5$.

Выполним обратную замену:

1. Если $\log_3 x = 1$, то $x = 3^1 = 3$.

2. Если $\log_3 x = 5$, то $x = 3^5 = 243$.

Оба корня ($3$ и $243$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $3; 243$.