Номер 837, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 837, страница 329.
№837 (с. 329)
Условие. №837 (с. 329)
скриншот условия

Решить уравнение (837–857).
837.1)$3^{x-7} = 81;$
2) $2^{x^2 - 5x + 6,5} = \sqrt{2};$
3) $\left(\frac{1}{4} \cdot 4^x\right)^x = 2^{2x+6}.$
Решение 1. №837 (с. 329)



Решение 2. №837 (с. 329)

Решение 3. №837 (с. 329)
1) Дано уравнение $3^{x-7} = 81$.
Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. Основание левой части равно 3. Представим число 81 в виде степени с основанием 3. Поскольку $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, уравнение можно переписать в следующем виде:
$3^{x-7} = 3^4$
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x - 7 = 4$
Решаем полученное линейное уравнение, перенеся -7 в правую часть:
$x = 4 + 7$
$x = 11$
Ответ: 11
2) Дано уравнение $2^{x^2 - 5x + 6,5} = \sqrt{2}$.
Приведем обе части уравнения к основанию 2. Правую часть, $\sqrt{2}$, можно представить в виде степени как $2^{1/2}$ или $2^{0,5}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$2^{x^2 - 5x + 6,5} = 2^{0,5}$
Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x^2 - 5x + 6,5 = 0,5$
Перенесем 0,5 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 5x + 6,5 - 0,5 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
Корни уравнения равны:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$
Также можно было воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.
Ответ: 2; 3
3) Дано уравнение $(\frac{1}{4} \cdot 4^x)^x = 2^{2x+6}$.
Для решения этого уравнения необходимо привести обе части к одному основанию, в данном случае к 2. Преобразуем левую часть. Мы знаем, что $\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$ и $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.
Подставим эти выражения в левую часть:
$(2^{-2} \cdot 2^{2x})^x = 2^{2x+6}$
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для выражения в скобках:
$(2^{2x-2})^x = 2^{2x+6}$
Теперь используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$2^{x(2x-2)} = 2^{2x+6}$
$2^{2x^2 - 2x} = 2^{2x+6}$
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$2x^2 - 2x = 2x + 6$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$2x^2 - 2x - 2x - 6 = 0$
$2x^2 - 4x - 6 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$
Ответ: -1; 3
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 837 расположенного на странице 329 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №837 (с. 329), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.