Номер 837, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 837, страница 329.

Условие.

Решить уравнение (837–857).

837.1)

$3^{x-7} = 81;$

2) $2^{x^2 - 5x + 6,5} = \sqrt{2};$

3) $\left(\frac{1}{4} \cdot 4^x\right)^x = 2^{2x+6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано уравнение $3^{x-7} = 81$.

Чтобы решить это показательное уравнение, необходимо привести обе его части к одному основанию. Основание левой части равно 3. Представим число 81 в виде степени с основанием 3. Поскольку $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, уравнение можно переписать в следующем виде:

$3^{x-7} = 3^4$

Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x - 7 = 4$

Решаем полученное линейное уравнение, перенеся -7 в правую часть:

$x = 4 + 7$

$x = 11$

Ответ: 11

2) Дано уравнение $2^{x^2 - 5x + 6,5} = \sqrt{2}$.

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Правую часть, $\sqrt{2}$, можно представить в виде степени как $2^{1/2}$ или $2^{0,5}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$2^{x^2 - 5x + 6,5} = 2^{0,5}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 - 5x + 6,5 = 0,5$

Перенесем 0,5 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6,5 - 0,5 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Корни уравнения равны:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Также можно было воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.

Ответ: 2; 3

3) Дано уравнение $(\frac{1}{4} \cdot 4^x)^x = 2^{2x+6}$.

Для решения этого уравнения необходимо привести обе части к одному основанию, в данном случае к 2. Преобразуем левую часть. Мы знаем, что $\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$ и $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.

Подставим эти выражения в левую часть:

$(2^{-2} \cdot 2^{2x})^x = 2^{2x+6}$

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для выражения в скобках:

$(2^{2x-2})^x = 2^{2x+6}$

Теперь используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):

$2^{x(2x-2)} = 2^{2x+6}$

$2^{2x^2 - 2x} = 2^{2x+6}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x^2 - 2x = 2x + 6$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 - 2x - 2x - 6 = 0$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Ответ: -1; 3