Номер 836, страница 329 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 836, страница 329.

Условие.

836. Найти все числа a, для которых выполняется условие

$4 \cdot 2^{3a} = 0,25^{\frac{a^2}{2}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В качестве общего основания удобно выбрать число 2.

Представим коэффициенты 4 и 0,25 в виде степеней двойки:

$4 = 2^2$

$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение $4 \cdot 2^{3a} = 0,25^{\frac{a^2}{2}}$:

$2^2 \cdot 2^{3a} = (2^{-2})^{\frac{a^2}{2}}$

Воспользуемся свойствами степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), а при возведении степени в степень — перемножаются ($(x^m)^n = x^{m \cdot n}$).

Упростим левую часть уравнения:

$2^2 \cdot 2^{3a} = 2^{2+3a}$

Упростим правую часть уравнения:

$(2^{-2})^{\frac{a^2}{2}} = 2^{-2 \cdot \frac{a^2}{2}} = 2^{-a^2}$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$2^{2+3a} = 2^{-a^2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 + 3a = -a^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2+Bx+C=0$:

$a^2 + 3a + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$a_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, искомыми значениями $a$ являются -1 и -2.

Ответ: -2; -1.