Номер 831, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 831, страница 328.

Условие.

831. Найти все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомые целые числа — это $x$ и $y$. По условию задачи, их сумма равна их произведению. Это можно записать в виде уравнения:

$x + y = xy$

Для нахождения целочисленных решений преобразуем это уравнение. Перенесем все слагаемые, содержащие переменные, в одну сторону:

$xy - x - y = 0$

Это уравнение можно решить методом разложения на множители. Для этого добавим 1 к обеим частям, чтобы можно было сгруппировать слагаемые:

$xy - x - y + 1 = 1$

Теперь разложим левую часть на множители:

$x(y - 1) - (y - 1) = 1$

$(x - 1)(y - 1) = 1$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - 1)$ и $(y - 1)$ также являются целыми числами. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух возможных случаях:

1. Оба множителя равны 1.
В этом случае имеем систему уравнений:
$\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y - 1 = 1 \end{cases}$
Решая систему, получаем $x = 2$ и $y = 2$. Это дает нам пару (2, 2).
Проверка: $2 + 2 = 4$ и $2 \cdot 2 = 4$.

2. Оба множителя равны –1.
В этом случае имеем систему уравнений:
$\begin{cases} x - 1 = -1 \\ y - 1 = -1 \end{cases}$
Решая систему, получаем $x = 0$ и $y = 0$. Это дает нам пару (0, 0).
Проверка: $0 + 0 = 0$ и $0 \cdot 0 = 0$.

Так как других целочисленных делителей у числа 1 нет, других решений в целых числах не существует.

Ответ: (0, 0) и (2, 2).